相似对角化：可对角化判断与求P的步骤

n 阶矩阵 A 能相似对角化的充要条件，是它有 n 个线性无关的特征向量；落到计算上，就是每个 k 重特征值 λ 都满足 n−r(λE−A)=k。特征值互不相同时这一条自动成立，有重根时必须逐个验秩。条件满足后，把特征向量按列排成 P，对应的特征值按同样顺序排成对角阵 Λ，就有 P⁻¹AP=Λ，验证时算 AP=PΛ 最省事。

五步做法

1. 求特征值：解 |λE−A|=0，用「特征值之和等于迹、之积等于 |A|」核对。
2. 重根验秩：对每个 k 重特征值算 r(λE−A)，看 n−r 是否等于 k；单根自动对应 1 个。
3. 求特征向量：对每个 λ 解 (λE−A)x=0，取基础解系。
4. 排 P 与 Λ：特征向量按列排成 P，Λ 的对角元按同样顺序写对应的特征值。
5. 验证：算 AP 与 PΛ 是否相等，并确认 |P|≠0。

第 5 步用乘法验证就够。P 可逆时，P⁻¹AP=Λ 与 AP=PΛ 等价；而 AP 的第 j 列就是 Aξⱼ，PΛ 的第 j 列是 λⱼξⱼ，逐列比较等于把每个特征向量重新验一遍。实对称矩阵是特例，它一定可以对角化，还能取到正交矩阵 P。一般矩阵要逐个验，所以拿到题目先看是不是实对称：是，就可以跳过第 2 步的验秩；否则重根处的秩必须逐个算。下面两道例题都是非对称矩阵，正好把五步完整走一遍，其中例 1 还要处理一个二重根。

例 1：有二重根，仍可对角化

例 1：A 的三行是 (−1, 3, 0)、(0, 2, 0)、(−3, 3, 2)，判断能否对角化，能的话求 P 与 Λ。

特征值：λE−A 的第 2 行只有 λ−2 一个非零元，按第 2 行展开得 (λ−2)²(λ+1)。特征值 λ₁=λ₂=2，λ₃=−1。核对：迹 −1+2+2= 3，等于 2+2−1；|A| 按第 2 行展开为 2×(−2)= −4，等于 2×2×(−1)。

二重根验秩：2E−A 的三行是 (3, −3, 0)、(0, 0, 0)、(3, −3, 0)，秩为 1，3−1=2，正好等于重数 2，可以对角化。

特征向量：λ=2 时方程只剩 x₁=x₂，x₃ 自由，取 ξ₁=(1, 1, 0)ᵀ、ξ₂=(0, 0, 1)ᵀ；λ=−1 时 −E−A 的三行是 (0, −3, 0)、(0, −3, 0)、(3, −3, −3)，得 x₂=0、x₁=x₃，取 ξ₃=(1, 0, 1)ᵀ。

P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad
\Lambda=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

验证：|P|=1≠0；逐列算 Aξ₁=(2, 2, 0)ᵀ=2ξ₁，Aξ₂=(0, 0, 2)ᵀ=2ξ₂，Aξ₃=(−1, 0, −1)ᵀ=−ξ₃，所以 AP=PΛ。

例 2：特征值互不相同

例 2：A 的两行是 (4, −2)、(1, 1)。

特征多项式 λ²−5λ+6=(λ−2)(λ−3)，两个特征值不同，直接可以对角化。λ=2 时 2E−A 的两行是 (−2, 2)、(−1, 1)，得 ξ₁=(1, 1)ᵀ；λ=3 时 3E−A 的两行是 (−1, 2)、(−1, 2)，得 ξ₂=(2, 1)ᵀ。

取 P 的两行为 (1, 2)、(1, 1)，Λ=diag(2, 3)。这里顺手把 P⁻¹ 也求出来做一次完整验证，P⁻¹ 的两行是 (−1, 2)、(1, −1)，乘出来正好是 Λ：

把两列交换，P 的两行变成 (2, 1)、(1, 1)，Λ 就要跟着变成 diag(3, 2)，两种写法都对。

反例：三重根只有两个特征向量

B 的三行是 (3, 1, 0)、(−1, 1, 0)、(0, 0, 2)。特征多项式是 (λ−2)³，三重根 2。2E−B 的三行是 (−1, −1, 0)、(1, 1, 0)、(0, 0, 0)，秩为 1，只有 3−1= 2 个线性无关的特征向量，少于重数 3，不能对角化。

还可以反过来想：如果 B 能对角化，Λ 只能是 2E，那么 B=P(2E)P⁻¹=2E，与 B 本身是非数量矩阵矛盾。

四处常见错

相似对角化的答案里至少有三个矩阵，在本站公式编辑页点「LaTeX」，用 pmatrix 写 P 与 Λ，列向量写成 (1,1,0)^{T}；|P|≠0 这类关系式里的 ≠ 写法见 不等于符号。

验秩、写 P、逐列验证，是例 1 的三段，也正好是这类题的答题顺序。三段按顺序排进同一份文档，就是一页能反复看的复习讲义。

延伸阅读

• 不等于符号：判断关系的基本用法
• 帮助中心：LaTeX 模式、文档编辑与导出的操作说明
• 考研矩阵相似对角化：常考结论与三类题的易错点