幂级数求和函数：逐项求导与逐项积分的例题

幂级数求和函数的思路是：通过逐项求导或逐项积分，把给定级数变成几个已知和函数的级数（最常用的是等比级数），求出和之后再积分或求导变回去。系数在分母上（如 1/n、1/(2n+1)）的，先逐项求导把分母消掉，最后积分回来；系数在分子上（如 n、2n+1）的，先逐项积分把系数消掉，最后求导回来。求出的和函数必须连同收敛域一起写，下面先列 8 个常用和函数，再配 3 道例题。

8 个常用和函数与选择规则

8 个最常借用的展开式按收敛域与用途列在下表，大部分例题最终都落到前五个上：

逐项求导和逐项积分都不改变收敛半径，但可能改变端点的敛散性，所以收敛域要对原级数判，不能拿中间级数的收敛域来顶替。另一个容易漏的是常数：先导后积时要补上 S(0)，先积后导时积分下限统一取 0。8 个展开式的完整写法见下面这页：

三道例题：先导后积、先积后导、求导两次

例 1：系数在分母，先求导

例 1：求 S(x)=Σ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) 的和函数，n 从 0 起。

收敛域：对通项用比值法，极限是 x²，令 x²<1 得 R=1。x=1 时是 1+1/3+1/5+…，与调和级数同阶，发散；x=−1 时每项变号，同样发散。收敛域是 (−1, 1)。

求导：分母 2n+1 正好是 x²ⁿ⁺¹ 求导掉下来的系数，所以 S′(x)=Σx²ⁿ=1/(1−x²)。

积分回来：S(0)=0，从 0 到 x 积分：

S(x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1-t^{2}}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\qquad -1<x<1

核对：x=1/2 时公式给出 ½ln 3≈ 0.5493，级数前 200 项之和也是 0.5493。

例 2：系数在分子，先积分

例 2：求 S(x)=Σ (2n+1)x²ⁿ 的和函数，n 从 0 起。

收敛域：半径同样是 1；x=±1 时通项是 2n+1，不趋于 0，两端发散，收敛域 (−1, 1)。

积分：从 0 到 x 逐项积分，2n+1 被约掉，得到 Σx²ⁿ⁺¹=x/(1−x²)，这是首项 x、公比 x² 的等比级数。

求导回来：S(x)=(x/(1−x²))′=(1+x²)/(1−x²)²，−1<x<1。x=1/2 时等于 20/9≈2.2222，级数前 300 项之和相同。

例 3：分母是 n(n+1)，求导两次

例 3：求 S(x)=Σ xⁿ⁺¹/(n(n+1)) 的和函数，n 从 1 起。

收敛域：R=1。x=1 时是 Σ1/(n(n+1))，收敛；x=−1 时取绝对值后仍是这个级数，绝对收敛。收敛域是 [−1, 1]，两端都闭。

求导两次：分母里有两个因子，要求导两次才能消掉。S(0)=S′(0)=0，逐步积分回来：

端点：公式里的 (1−x)ln(1−x) 在 x=1 处没有定义，但级数在 x=1 收敛，和函数在那里左连续，取极限得 S(1)=1，正好等于 Σ1/(n(n+1)) 的裂项和 1。x=−1 时公式给出 2ln 2−1≈0.386，级数的和也是 0.386。完整答案要写成分段：−1≤x<1 用公式，x=1 时 S=1。

四处常见错

1. 除以 x 时漏写 x=0：Σxⁿ/(n+1)（n 从 0 起）先乘 x 再求导，得 xS(x)=−ln(1−x)，S(x)=−ln(1−x)/x 只对 x≠0 成立，x=0 处要单独写 S(0)=1。
2. 求导后下标没改：Σxⁿ/n 求导得 Σxⁿ⁻¹，n 从 1 起；写成从 0 起就多出一项 x⁻¹。
3. 端点值直接套公式：例 3 在 x=1 处公式无意义，要用连续性取极限。
4. 收敛域照抄中间级数：例 3 的 S″ 对应 Σxⁿ⁻¹，端点都发散，但原级数两端都收敛。

把和函数推导排整齐

和函数题的推导通常四到五行：收敛域、求导或积分、借用的展开式、积分或求导回来、端点。在本站公式编辑页点「LaTeX」，几行推导放进 aligned 环境，等号前加 &，积分号写法见 积分符号。下图是例 2 先积分再求导的两行推导在编辑器里的样子。

例 3 要积两次分，最容易写错的是每一行的积分下限。S″、S′、S 三行一行一式写好，对着上面的公式图逐行查下限，无误后导出「Word（含公式）」上交——此项需登录且开通会员。

延伸阅读

• 积分符号：怎么读、怎么写与何时使用
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