罗尔定理辅助函数：条件变形与原函数法两种构造
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罗尔定理辅助函数的构造有两条路：条件变形法是把要证的式子移项、乘除，直到认出它是某个乘积或商的导数；原函数法是把 ξ 换成 x，分离出 f′/f 再两边积分，由积分结果直接读出辅助函数。两种方法构造完都要做同一件事：验证辅助函数在两个端点的值相等，罗尔定理才用得上。下面用两道例题各演示一种，并把验端点那一步单独写清。
先复习定理本身：F 在 [a, b] 上连续、在 (a, b) 内可导，且 F(a)=F(b)，则存在 ξ∈(a, b)，使 F′(ξ)=0。证明题要做的，就是找到一个 F，让 F′(ξ)=0 恰好等价于题目要证的结论。
两种构造方法的步骤
| 步骤 | 条件变形法 | 原函数法 |
|---|---|---|
| 1 | 结论移项成「式子=0」 | 结论里 ξ 换成 x，整理成 f′/f = g(x) |
| 2 | 乘或除一个因子，认出乘积或商的导数 | 两边积分：ln|f| = G(x) + C |
| 3 | 读出辅助函数 F | 把 C 单独留一边，得 F = f·e^(−G) |
| 4 | 验 F(a)=F(b) | 验 F(a)=F(b) |
条件变形法快，但要靠眼熟：f′·g + f·g′ 认成 (fg)′，f′·g − f·g′ 认成 (f/g)′ 的分子。认不出来时就走原函数法，它是一套固定的积分步骤，最后得到的 F 和变形法相同。下图列出三个常用辅助函数的导数，正是两道例题和 FAQ 里用到的三个。
例 1：条件变形法
题目：f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，f(0)=0。证明存在 ξ∈(0, 1)，使 (1−ξ)f′(ξ)=f(ξ)。
- 移项：结论写成 (1−ξ)f′(ξ) − f(ξ)=0，把 ξ 换成 x，得 (1−x)f′(x) − f(x)。
- 认导数：(1−x) 的导数是 −1，所以 (1−x)f′(x) + (1−x)′f(x) 正是 [(1−x)f(x)]′。
- 构造：F(x)=(1−x)f(x)。
- 验端点：F(0)=1·f(0)=0，F(1)=0·f(1)=0，两端相等。
- 结论：F 在 [0, 1] 上连续、在 (0, 1) 内可导，由罗尔定理，存在 ξ 使 F′(ξ)=(1−ξ)f′(ξ) − f(ξ)=0。证毕。
取 f(x)=sin πx 检验：f(0)=0，结论化为 (1−ξ)π cos πξ=sin πξ，在 (0, 1) 内的根约为 ξ≈0.354，确实落在区间内部。
第 4 步里 F(1)=0 不需要知道 f(1) 是多少，因子 1−x 在 x=1 处为 0 已经把它消掉了。构造时让一个因子在端点处取 0，是这类题常用的设计。
例 2：原函数法
题目：f 在 [0, π/2] 上连续，在 (0, π/2) 内可导，f(0)=0。证明存在 ξ∈(0, π/2)，使 f′(ξ)=f(ξ)tan ξ。
- 分离：ξ 换成 x，写成 f′(x)/f(x)=tan x。
- 积分：左边积出 ln|f(x)|，右边 tan x 的原函数是 −ln cos x，于是 ln|f(x)|=−ln cos x + C。
- 读出 F：整理成 f(x)cos x = 常数，取 F(x)=f(x)cos x。
- 验端点：F(0)=f(0)·1=0，F(π/2)=f(π/2)·0=0，两端相等。
- 结论：存在 ξ 使 F′(ξ)=f′(ξ)cos ξ − f(ξ)sin ξ=0；ξ 在开区间内，cos ξ>0，两边除以 cos ξ 得 f′(ξ)=f(ξ)tan ξ。证毕。
第 1 步除以 f(x) 只是在草稿上找 F 的手段，f 在某些点为 0 也不影响：正式证明从第 3 步的 F 写起，用不到这一步除法。取 f(x)=sin x 检验，F=sin x cos x=½sin 2x，两端都是 0，结论化为 cos²ξ=sin²ξ，得 ξ=π/4，在区间内。
常见错误对照
| 错误 | 典型表现 | 改法 |
|---|---|---|
| 构造完不验端点 | 例 1 直接写「由罗尔定理」 | 先写 F(0)=F(1)=0 |
| 除以可能为 0 的因子 | 例 2 最后除以 cos ξ 不交代 | 写明 ξ 在开区间内，cos ξ>0 |
| 把草稿步骤写进证明 | 例 2 的 ln|f| 写进正式证明 | 证明从构造好的 F 写起 |
| ξ 的范围写成闭区间 | 写成 ξ∈[0, 1] | 罗尔定理给的是开区间 (a, b) |
在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，可以把例 2 的构造、验端点和求导录成上下两行，\xi、\tan 这类命令随打随显。
两道题的辅助函数都有一个因子在端点取 0：例 1 是 1−x，例 2 是 cos x。以后看到结论里带 tan ξ 或 1/(1−ξ) 这类在端点出问题的式子，先想想乘上哪个因子能把它变成端点为 0 的函数。
延伸阅读
常见问题
- f(ξ)+ξf′(ξ)=0该怎么构造？
- 把 ξ 换成 x，左边 f(x)+x·f′(x) 正好是 x·f(x) 的导数，所以取 F(x)=x·f(x)。接着验端点：若题目给的是 f 在 [0,1] 上连续、在 (0,1) 内可导且 f(1)=0，则 F(0)=0、F(1)=f(1)=0，两端相等，由罗尔定理得存在 ξ 使 F′(ξ)=0，即 f(ξ)+ξf′(ξ)=0。