二次型化标准形：配方法的步骤与例题

二次型化标准形用配方法（拉格朗日配方法）时，只做一件事：挑一个带平方项的变量，把含它的所有项凑成一个完全平方，剩下的部分就少了一个变量，再对剩下的部分重复。二次型里一个平方项都没有时，先做代换 x₁=y₁+y₂、x₂=y₁−y₂ 把平方项造出来，再照常配方。每一步都记下变量代换，最后合成一个可逆变换 x=Cy，并确认 |C|≠0，标准形才算写完整。

配方法的两种起手

配方时有一条纪律：每一步只处理一个变量，并且把含这个变量的项一次收干净。收一半就去处理下一个变量，后面还会冒出含它的交叉项，平方就配不完了。

写代换也要讲顺序：配方时自然得到的是「新变量用旧变量表示」，即 y=Dx；题目要的可逆变换是反过来的 x=Cy，C=D⁻¹。三元的 D 通常是上三角，从最后一个变量往回代就能解出 C，用不着真的求逆矩阵。

下图是例 1 的代换与它反解出的 C，左右两边是同一个变换的两种写法。

例 1：有平方项，逐个变量配方

例 1：f=x₁²+3x₂²+4x₃²+2x₁x₂−2x₁x₃−6x₂x₃，用配方法化成标准形。

配 x₁：含 x₁ 的三项是 x₁²+2x₁x₂−2x₁x₃，它等于 (x₁+x₂−x₃)² 减去多出来的 x₂²+x₃²−2x₂x₃。代回原式，f=(x₁+x₂−x₃)²+2x₂²+3x₃²−4x₂x₃。

配 x₂：剩下的 2x₂²−4x₂x₃=2(x₂−x₃)²−2x₃²，于是 f=(x₁+x₂−x₃)²+2(x₂−x₃)²+x₃²。

写代换：令 y₁=x₁+x₂−x₃，y₂=x₂−x₃，y₃=x₃，得 f=y₁²+2y₂²+y₃²。反解：x₃=y₃，x₂=y₂+y₃，x₁=y₁−x₂+x₃=y₁−y₂。取一个点核对：x=(1, 1, 1) 时原式等于 1+3+4+2−2−6= 2，对应 y=(1, 0, 1)，标准形给出 1+0+1= 2。

例 2：没有平方项，先代换

例 2：f=2x₁x₂−4x₁x₃+8x₂x₃。

造平方项：令 x₁=y₁+y₂，x₂=y₁−y₂，x₃=y₃。代入后 2x₁x₂ 变成 2y₁²−2y₂²，−4x₁x₃ 变成 −4y₁y₃−4y₂y₃，8x₂x₃ 变成 8y₁y₃−8y₂y₃，合起来 f=2y₁²−2y₂²+4y₁y₃−12y₂y₃。

配 y₁：2y₁²+4y₁y₃=2(y₁+y₃)²−2y₃²。配 y₂：−2y₂²−12y₂y₃=−2(y₂+3y₃)²+18y₃²。两处 y₃² 合并是 −2+18= 16，所以 f=2z₁²−2z₂²+16z₃²，其中 z₁=y₁+y₃，z₂=y₂+3y₃，z₃=y₃。

合成变换：y₁=z₁−z₃，y₂=z₂−3z₃，代回第一次代换，x₁=z₁+z₂−4z₃，x₂=z₁−z₂+2z₃，x₃=z₃。

写出可逆变换并验算

例 1 的变换矩阵 C 三行是 (1, −1, 0)、(0, 1, 1)、(0, 0, 1)，|C|= 1；例 2 的 C 三行是 (1, 1, −4)、(1, −1, 2)、(0, 0, 1)，|C|= −2。两个都不为零，变换可逆。

验算最彻底的办法是算 CᵀAC，结果应当正好是标准形系数排成的对角阵。例 2 的二次型矩阵 A 主对角线全是 0，交叉项系数对半分到对称位置上：

不想乘矩阵时，至少代一个点：例 2 取 x=(1, 2, 3)，原式等于 4−12+48= 40；由合成变换反推 z=(4.5, 8.5, 3)，2×20.25−2×72.25+16×9 也等于 40。

常见错误对照

录推导时，每配完一个变量就写成一行等式，几行一起放进 aligned 环境对齐等号；平方项直接用普通圆括号，系数 2 写在括号外（括号里没有分式，不必用 \left( \right)）。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」粘贴下面这段，就是例 1 的完整配方过程：

\begin{aligned}
f&=(x_1+x_2-x_3)^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_2x_3\\
&=(x_1+x_2-x_3)^2+2(x_2-x_3)^2+x_3^2\\
&=y_1^2+2y_2^2+y_3^2
\end{aligned}

配方先挑带平方项的变量下手，例 1 从 x₁ 一路配下去；只有例 2 这种一个平方项都没有的，才需要先用 x₁=y₁+y₂、x₂=y₁−y₂ 造出平方。最后把 C 排成矩阵时，行列对齐的写法在 矩阵书写 里有。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明