概率论公式：事件概率到参数估计的公式与用法

概率论公式按用途分成四组：事件概率（加法、条件概率、全概率、贝叶斯）、常见分布、数字特征（期望、方差、协方差）、参数估计。每条公式都有适用条件，用错条件比记错公式更常见，例如加法公式里忘了减去交集、贝叶斯公式里把分母写成单个原因。下面按四组整理公式与适用条件，每组配一道可以逐步验算的例题，文末把四组排成一页可打印的公式清单。

事件概率：四条基本公式

贝叶斯公式的分母正是全概率公式，所以两者常在同一道题里连着用：P(Aᵢ｜B) 等于第 i 个原因的贡献 P(Aᵢ)P(B｜Aᵢ)，除以全部原因贡献之和。完整写法见下文配图。

例题：甲、乙、丙三台机器的产量占比为 50%、30%、20%，次品率分别为 1%、2%、3%。任取一件是次品的概率，按全概率公式为 0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.03=0.005+0.006+0.006= 0.017。已知取到次品，它来自甲的概率按贝叶斯公式为 0.005/0.017=5/17≈ 0.294。三台机器的后验概率 5/17、6/17、6/17 相加恰好为 1，可以作为自检。这类题先把三台机器的占比和次品率各列成一行，再代公式，最不容易漏项。分母 0.017 必须包含全部三台机器的贡献，只写甲那一项，结果会变成 1。

常见分布与数字特征

二项分布的概率公式在考试里出现得最频繁，写对组合数是关键：

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n

例题：X~B(10,0.2)，P(X=2)=C(10,2)×0.2²×0.8⁸=45×0.04×0.16777≈ 0.302；期望 np= 2，方差 np(1−p)= 1.6。

概率题的记号多：条件概率的竖线、求和号的上下标、组合数的括号，手写最容易混。把上面这两条公式先录进公式编辑页，切到「预览模式」对一遍，比翻书核对快。

期望、方差与协方差的计算公式

方差用定义算往往繁琐，常用计算式 D(X)=E(X²)−[E(X)]²，再配合线性性质 D(aX+b)=a²D(X)。

例题：X 取 0、1、2 的概率分别为 0.2、0.5、0.3。E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3= 1.1，E(X²)=0+0.5+1.2=1.7，D(X)=1.7−1.1²= 0.49。下图是这三行对齐排好的样子。

两个随机变量之间的关系用协方差和相关系数刻画：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)，ρ=Cov(X,Y)/√(D(X)D(Y))。若 D(X)=4，D(Y)=9，Cov(X,Y)=3，则 D(X+Y)=4+9+6= 19，ρ=3/(2×3)= 0.5。注意 ρ=0 只说明两者线性无关，独立是更强的条件。

参数估计：矩估计与最大似然估计

矩估计的思路是让总体矩等于样本矩；最大似然估计则是写出似然函数，取对数后求导令其为零。以指数分布 E(λ) 为例：

• 矩估计：E(X)=1/λ，令它等于样本均值 x̄，得 λ̂=1/x̄。
• 最大似然估计：似然函数 L(λ)=λⁿe^(−λΣxᵢ)，取对数得 ln L=n ln λ−λΣxᵢ，对 λ 求导令其为零，得 n/λ−Σxᵢ=0，同样得 λ̂=1/x̄。

两种方法在这个分布上结果一致，一般情况下可能不同。评价估计量时看无偏性：样本方差 S² 的分母取 n−1，正是为了让 E(S²)=σ² 成立。

四组公式排成一页可打印的清单

考前最有用的是一页纸：四组公式各占一块，每条旁边写明适用条件。下面这页就是按本文四组排好的样子。

在本站做一份自己的：打开公式编辑页，点右上角「LaTeX」逐条写，条件概率的竖线写 \mid，组合数写 \binom{n}{k}，求和号写 \sum_{j=1}^{n}；也可以在左栏「搜索公式模板」里找现成的概率公式结构再改。方差那道题可以直接贴这段：

\begin{aligned}
E(X) &= 0\times 0.2+1\times 0.5+2\times 0.3 = 1.1 \\
E(X^{2}) &= 0+0.5+1.2 = 1.7 \\
D(X) &= 1.7-1.1^{2} = 0.49
\end{aligned}

写完切到「文档编辑」，用「插入公式」把清单按四组排好，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」，或选「打印 · PDF」在浏览器打印窗口里另存为 PDF，打印出来就是一页复习纸。这两项都要登录并开通本站会员，档位见会员页。数值结果仍按上面的自检方式手算复核。公式的文字描述怎样转成规范写法，可参考 自然语言公式。

延伸阅读

• 自然语言公式：先澄清含义再转写成公式
• 网页公式转LaTeX：复制前先核对结构
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