幂级数收敛域：求半径、开区间、查端点三步

幂级数收敛域分三步求：先用比值法求收敛半径 R，再以级数的中心为中点写出开区间，最后把两个端点分别代回级数单独判敛。缺项级数（只含偶次幂或只含奇次幂）不能直接套系数之比的公式，要对整个通项用比值法。下面三道例题的端点结论各不相同，文末用一张表汇总。

三步做法速查

1. 求半径：不缺项时，看相邻系数之比的极限 ρ=lim|aₙ₊₁/aₙ|，R=1/ρ；ρ=0 时 R=+∞，ρ=+∞ 时 R=0。缺项时对整个通项 uₙ(x) 求 |uₙ₊₁/uₙ| 的极限，令它小于 1 解出 x 的范围。
2. 写开区间：级数写成 (x−x₀)ⁿ 的形式，中心是 x₀，开区间是 (x₀−R, x₀+R)。形如 (2x−1)ⁿ 的要先把系数提出来，或换元 t=2x−1。
3. 查端点：把 x₀−R 和 x₀+R 分别代进去，得到两个数项级数，用 p 级数、莱布尼茨判别法或通项极限逐个判断。

第 3 步是阅卷最看重的一步，也是最常漏的一步。开区间内部由比值法保证绝对收敛，区间外面一定发散，只有两个端点比值法说不了话，必须另外判断。通项里整体带 n 次方时，第 1 步也可以改用根值法求 ρ，两种方法得到的半径相同。例题里三个级数的系数都是分式，所以统一用比值法演示，读者可以拿根值法各算一遍对照。

半径的公式写成下面这样，两种写法互为倒数，用哪个都行：

三道例题：端点各不相同

例 1：中心不在原点

例 1：求 Σ (x+1)ⁿ/(√n·2ⁿ) 的收敛域，n 从 1 起。

求半径：aₙ=1/(√n·2ⁿ)，相邻系数之比是 √n/(2√(n+1))，n→∞ 时趋于 1/2，所以 R=2。

开区间：中心是 x₀=−1，不是 0，开区间是 (−3, 1)。

查端点：x=1 时级数变成 Σ1/√n，是 p=1/2 的 p 级数，发散；x=−3 时 (x+1)ⁿ=(−2)ⁿ，级数变成 Σ(−1)ⁿ/√n，1/√n 单调减少趋于 0，按莱布尼茨判别法收敛。收敛域是 [−3, 1)。

例 2：缺项级数

例 2：求 Σ x²ⁿ/(n·4ⁿ) 的收敛域，n 从 1 起。

这个级数只含偶次幂，奇数次项的系数全是 0，「相邻系数之比」根本没有定义。把 x²ⁿ 前的系数 1/(n·4ⁿ) 直接拿来套公式，会得到 R=4，这是错的。正确做法是对整个通项用比值法：

令 x²/4<1，得 |x|<2，R=2。核对一下 R=4 为什么错：取 x=3，通项是 (9/4)ⁿ/n，越来越大，级数发散，而 3 落在 (−4, 4) 里面。

查端点：x=±2 时 x²ⁿ=4ⁿ，通项都是 1/n，两个端点都是调和级数，发散。收敛域是 (−2, 2)。

例 3：两个端点都收敛

例 3：求 Σ (x−3)ⁿ/n² 的收敛域，n 从 1 起。

相邻系数之比 n²/(n+1)² 趋于 1，R=1，开区间 (2, 4)。x=4 时是 Σ1/n²，p=2 的 p 级数，收敛；x=2 时是 Σ(−1)ⁿ/n²，取绝对值后同样是 p=2 的 p 级数，绝对收敛。收敛域是 [2, 4]，两端都闭。

端点结论汇总与四处常见错

例题	半径 R	开区间	左端点	右端点	收敛域
例 1	2	(−3, 1)	x=−3 条件收敛	x=1 发散	[−3, 1)
例 2	2	(−2, 2)	x=−2 发散	x=2 发散	(−2, 2)
例 3	1	(2, 4)	x=2 绝对收敛	x=4 收敛	[2, 4]

四处常见错，对着上表逐条核：

1. 缺项级数套系数公式：例 2 会被算成 R=4。
2. 忘了中心：例 1 写成 (−2, 2)，把中心当成了原点。
3. 端点只看绝对值：例 1 在 x=−3 处取绝对值后发散，但原级数条件收敛，这个端点要算进去。
4. 系数没提出来：Σ(2x−1)ⁿ/n 的开区间要解 |2x−1|<1，得 0<x<1，半径是 1/2 而不是 1。

把收敛域的推导排成三行

一道收敛域题录成三行最清楚：半径、开区间、两个端点的结论。在本站公式编辑页点「LaTeX」，求和号写 \sum_{n=1}^{\infty}，半开区间直接写 [-3,1)，排出来就是左闭右开。Σ、∞ 这类符号的命令可以在 LaTeX 符号大全 里查，点符号的「在编辑器中打开」就带着它进编辑器。

例 2 只含偶次幂，比值法得对整个通项用，关键就在这一行；换成只含奇次幂的题也照它改。再接上半径、开区间、端点三句，同类题攒在一个文档里就是级数错题本。

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