正项级数敛散性判别方法：5种判别法的使用顺序
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正项级数敛散性判别方法常用的有五种：必要条件、比值法、根值法、比较法（含极限形式）和积分判别法。使用顺序是：第一步永远先看通项是否趋于 0，不趋于 0 直接判发散；趋于 0 以后，按通项的样子挑后四种之一，阶乘连乘用比值、整体 n 次方用根值、代数式用比较、带对数用积分。比值法或根值法算出极限等于 1 时判不出，就退回比较法。
五种判别法的使用顺序表
表里每一行给出适用信号、结论怎么读，以及本文对应的例题。前三行都是算一个极限就下结论；后两行要先找参照级数或原函数，工作量大一些，所以排在后面。
| 顺序 | 判别法 | 适用信号 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 1 | 必要条件 | 任何级数都先看 | 通项不趋于 0 即发散 |
| 2 | 比值法 | 阶乘、aⁿ、多因子连乘 | 比值极限 <1 收敛，>1 发散 |
| 3 | 根值法 | 整个通项是某式的 n 次方 | 根值极限 <1 收敛，>1 发散 |
| 4 | 比较法 | 分式、根式、等价无穷小 | 按放缩方向，或用极限形式与 p 级数、等比级数比 |
| 5 | 积分判别法 | 含 ln n，通项单调减少 | 与对应反常积分同敛散 |
第 1 行放在最前面，是因为它对任何级数都成立，又能立刻排除一部分题；通项含 n·sin(1/n)、n 次方根这类在 n→∞ 时趋于非零常数的因子时，尤其要先看一眼。第 2、3 行的极限等于 1 时，两种方法都失效，这时跳到第 4 行。下图是按这个顺序画的判断流程，每一步都注明了对应的例题编号。
五道例题，每种判别法一道
例 1（必要条件） Σn·sin(1/n)。通项等于 sin(1/n)÷(1/n)，n→∞ 时趋于 1，不是 0，级数发散。这一步用不上后四种判别法，却最常被跳过：直接上比较法的话，会拿 n·sin(1/n) 去和 1/nᵖ 比，绕了一圈才发现比值不收敛。
例 2（比值法） Σ(n 的阶乘)/(2·5·8·…·(3n−1))。分子是阶乘，分母是 n 个因子连乘，信号很明确。后一项除以前一项，分子多出因子 n+1，分母多出因子 3(n+1)−1=3n+2，比值是 (n+1)/(3n+2)，极限 1/3，小于 1，收敛。
例 3（根值法） Σ(n/(3n−1))²ⁿ。整个通项是 n/(3n−1) 的 2n 次方，开 n 次方后剩下 (n/(3n−1))²，极限 1/9，小于 1，收敛。指数 2n 里带着 n，开 n 次方正好把它消成常数 2，这就是选根值法的信号。
例 4（比较法） Σ1/n^(1+1/n)。指数里有 n，像是该用根值法，可根值极限和比值极限都等于 1，判不出。把通项写成 1/(n·n^(1/n))，因为 n 开 n 次方趋于 1，它与 1/n 之比的极限是 1，而调和级数发散，所以原级数发散。这一题说明：指数大于 1 不等于收敛，要看指数的极限。
例 5（积分判别法） Σ1/(n·ln²n)，n 从 2 起。f(x)=1/(x·ln²x) 在 x≥2 时为正且单调减少，对应的反常积分令 t=ln x 就能算出，值为 1/ln 2，约 1.443，有限，所以级数收敛。比值、根值在这里都趋于 1，比较法也难找参照，积分判别法是这类带对数的级数的常规出路。
反常积分的上下限怎样绑定到积分号上，见 积分符号。
顺序用错时的三种表现
- 跳过必要条件：例 1 这类题会在比较法里兜圈子，花了几行才发现比值极限不是有限正数。
- 比值极限等于 1 就下结论：例 4、例 5 的比值极限都是 1，一个发散一个收敛，1 本身不说明任何事。
- 积分判别法漏了单调性：通项要对应一个单调减少的正函数，写解答时要先写这一句，后面的积分才有依据。
本站编辑器负责把这些推导排整齐，判别本身要自己做。在公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，例 4 与调和级数比较的那一行可以这样写：
\lim_{n\to\infty}\frac{1/n^{1+\frac{1}{n}}}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\ \text{发散}
五道题各占一行，行首标上判别法名称，就是一张按使用顺序排好的判别法卡片；复习时先盖住右边的结论，只看通项猜该用哪一种，再核对。
延伸阅读
常见问题
- 拿到正项级数先用哪个判别法？
- 先看通项的极限，不趋于零就直接判发散，这一步花不了多少工夫。趋于零再看通项长什么样：有阶乘或几个因子连乘的用比值法，整个通项是某式的 n 次方的用根值法，分式、根式或能换等价无穷小的用比较法，含对数且单调减少的用积分判别法。比值法、根值法算出极限等于一时，改走比较法。