正定矩阵判定：顺序主子式与特征值两种方法

正定矩阵判定有两种常用方法：实对称矩阵 A 的各阶顺序主子式全部大于 0，或者 A 的全部特征值都大于 0，满足任意一条 A 就正定，两条互相等价。顺序主子式法只算行列式，适合含参数的题；特征值法适合特征值已经求出或容易求的题。只看主对角元全正是不够的，这是最常见的错误。本站与 Wolfram 无关联，本站也不提供计算功能，编辑器只负责把推导过程排版记录下来。

两种方法与相关结论速查

正定的前提是 A 为实对称矩阵，二次型 f=xᵀAx 对任意非零向量 x 都大于 0。顺序主子式指左上角 1×1、2×2、…、n×n 这些子块的行列式，记作 D₁、D₂、…、Dₙ。

表里最后一行只能用来「排除」：对角元出现 0 或负数，立刻可以断定不正定；对角元全正却说明不了正定。

例 1：同一个矩阵，两种方法各走一遍

题目：判断二次型 f=2x₁²+2x₂²+2x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃ 是否正定。

写出矩阵：交叉项系数要除以 2 放到对称位置，所以 A 的三行是 (2, 1, 1)、(1, 2, 1)、(1, 1, 2)。

k 阶顺序主子式就是左上角 k 行 k 列组成的行列式：

顺序主子式法：D₁=2；D₂=2×2−1×1=3；D₃=|A|，按第一行展开 2×(4−1)−1×(2−1)+1×(1−2)=6−1−1=4。三个都大于 0，所以 f 正定。

特征值法：A 的每行元素之和都是 4，所以 4 是一个特征值；A−E 三行全是 (1, 1, 1)，秩为 1，所以 1 是二重特征值。三个特征值 4、1、1 全部大于 0，结论一致。核对：4×1×1=4 正好等于 D₃=|A|，4+1+1=6 等于主对角元之和。

例 2：含参数 t 的取值范围

题目：二次型 f=x₁²+4x₂²+2x₃²+2t·x₁x₂+2x₁x₃ 正定，求 t 的取值范围。

写出矩阵：A 的三行是 (1, t, 1)、(t, 4, 0)、(1, 0, 2)。录入时可以直接复制这段源码，把 t 换成你题里的参数：

A=\begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix}

逐阶列不等式：

1. D₁=1，恒大于 0；
2. D₂=4−t²>0，得 −2<t<2；
3. D₃=|A|，按第一行展开 1×(8−0)−t×(2t−0)+1×(0−4)=4−2t²>0，得 −√2<t<√2。

三个条件同时成立，取交集：−√2<t<√2。在数轴上画出来，公共部分一目了然：

代回核对：取 t=1，D₂=3、D₃=2，都为正；取 t=1.5，D₃=4−4.5=−0.5<0，不正定，说明边界确实在 √2≈1.414 附近。

常见错误

• 只看主对角元：矩阵两行为 (1, 2)、(2, 1)，对角元都是 1，但 D₂=1−4=−3<0，不正定。取 x=(1, −1)ᵀ，f=1+1−4=−2，确实小于 0。
• 交叉项没除以 2：2t·x₁x₂ 放进矩阵时，第 1 行第 2 列和第 2 行第 1 列各放 t，不是 2t。例 2 如果写成 2t，范围会算错。
• 负定照搬「全负」：负定要奇负偶正，见 FAQ。
• 半正定只看顺序主子式：两行为 (0, 0)、(0, −1) 的矩阵，D₁=0、D₂=0 都不小于 0，但 x=(0, 1)ᵀ 时 f=−1，并不半正定。
• 矩阵不对称就直接判：正定是对实对称矩阵说的，先把二次型写成对称矩阵再判。

例 2 这类含参题，可以把矩阵、D₂、D₃ 三个条件和最后的交集各录一行，哪一阶卡住了范围，交作业时一眼可查。

延伸阅读

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