极坐标二重积分：什么时候换、面积元为何多个r

极坐标二重积分在两种情况下值得换：积分区域由圆、圆环、扇形这类曲线围成，或者被积函数里成组出现 x²+y²、y/x。换法是令 x=r cosθ、y=r sinθ，面积元 dσ 换成 r dr dθ；多出的这个 r，是因为极坐标的小网格在半径方向宽 Δr、在圆弧方向长 rΔθ，面积约为 rΔrΔθ。下面先给区域到积分限的速查表，再推导面积元，最后用整圆、圆环扇形、偏心圆三道例题把定限走一遍。

什么时候换：区域与积分限速查

只有被积函数含 x²+y²、区域却是矩形或三角形时，换极坐标反而会让积分限变成 1/cosθ 这类式子，一般仍用直角坐标。两个信号都出现时，换极坐标基本不会错。

面积元为什么多个 r

把区域用「r=常数」的圆弧和「θ=常数」的射线切成小块。夹在半径 r 与 r+Δr、角度 θ 与 θ+Δθ 之间的一块，是两个扇形面积之差，每个扇形的面积都按「二分之一乘半径平方乘圆心角」计算，展开后分成两项：

第二项含 (Δr)²，比第一项高一阶，取极限时舍去，所以 dσ=r dr dθ。用数核对：r=1、Δr=0.1、Δθ=0.2 时，小块的准确面积是 0.021，rΔrΔθ 给出 0.020，差值 0.001 正好是 ½(Δr)²Δθ。

另一种说法是雅可比行列式：x、y 对 r、θ 的四个偏导排成行列式，值恰好是 r。靠近原点的小块很窄，远离原点的小块很宽，乘上 r 就是在补偿这个差别。

三道例题

例 1（整圆）：在区域 D：x²+y²≤4 上计算 ∬ √(4−x²−y²) dσ。

θ 从 0 到 2π，r 从 0 到 2，被积函数变成 √(4−r²)，再乘面积元的 r。内层 ∫₀² √(4−r²)·r dr 用凑微分得 8/3，乘以 2π 得 16π/3。几何核对：它是半径 2 的上半球体积 (2/3)π·2³=16π/3，一致。

例 2（圆环扇形）：在区域 D：1≤x²+y²≤4、0≤y≤x 上计算 ∬ arctan(y/x) dσ。

0≤y≤x 是 x 轴与直线 y=x 之间的角，所以 θ 从 0 到 π/4；r 从内圆 1 到外圆 2，区域如下。

arctan(y/x) 在这里就是 θ，积分可以拆成两个一元积分相乘：

例 3（偏心圆）：在区域 D：x²+y²≤2x 上计算 ∬ √(x²+y²) dσ。

把 x=r cosθ 代进边界得 r²≤2r cosθ，即 r≤2cosθ；圆经过原点、圆心在 (1, 0)，射线只在 −π/2 到 π/2 之间碰到它。被积函数是 r，乘面积元的 r 后积分如下：

\begin{aligned}
\iint_D \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,d\sigma
&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r\cdot r\,dr\\
&=\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\frac{8}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{32}{9}
\end{aligned}

cos³θ 在 [−π/2, π/2] 上的积分等于 4/3，可以用 cos³θ=(1−sin²θ)cosθ 凑微分核对。

常见错误

1. 漏乘 r：例 1 写成 ∫∫√(4−r²) dr dθ，结果变成 2π·π=2π²，与半球体积对不上。
2. 偏心圆的 θ 取满一圈：例 3 写成 0 到 2π，cosθ<0 的那半圈里 r 的上限是负数，没有意义。
3. 把 r 的上限写成常数：例 3 的外边界是 r=2cosθ，随 θ 变化。
4. θ 的范围看错象限：例 2 的 0≤y≤x 对应 0 到 π/4，写成 0 到 π/2 就多算了一半区域。

三道例题的共同写法是先写区域的 r、θ 范围，再写累次积分，最后写结果。在本站公式编辑页点「LaTeX」，把例 3 的源码粘进去，θ 写 \theta、面积元写 r\,dr\,d\theta，切回「可视化」模式核对上下限；积分区域的读法见 二重积分符号，积分号的写法见 积分符号。

试着把例 2 的两行推导也录进去，第一行写区域 1≤r≤2、0≤θ≤π/4，第二行写拆成两个一元积分的乘积，核对后从「导出」选「导出 Markdown (.md)」放进课堂笔记；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 二重积分符号：积分区域 D 与累次积分内外层的读法
• 积分符号：积分号怎么读、怎么写与何时使用