偏导数怎么求：把其他变量当常数的例题

偏导数怎么求，一句话就能说清：对哪个变量求偏导，就把其余变量一律当成常数，然后完全按一元函数的求导法则去求。二阶偏导是在一阶偏导的结果上再求一次，混合偏导要看清先对谁、后对谁。下面先给记号速查，再用一阶、二阶各两道例题逐步演示，最后讲混合偏导的次序和一个两者不相等的反例。

记号与求法速查

「当常数」要当得彻底：对 x 求偏导时，y²、sin y、eʸ 都只是系数或常数项，前者照抄、后者求导为零。同一个函数对两个变量求偏导，用到的可能是两条完全不同的求导公式，例 1 就是这样。

混合偏导的次序记法各教材不完全统一。有些教材把 ∂²z/∂x∂y 按算子从右往左读，理解为先对 y 后对 x；做题时以所用教材的约定为准，两个混合偏导连续时结果相同，差别只在不连续的情形里显形。

一阶偏导：两道例题

例 1：z=xʸ（x>0）。

对 x 求偏导时 y 是常数，xʸ 是幂函数：∂z/∂x=y·x^(y−1)。对 y 求偏导时 x 是常数，xʸ 是指数函数：∂z/∂y=xʸ·ln x。把两者搞混，是这道题最常见的丢分点。

例 2：z=arctan(y/x)。

对 x 求偏导，外层 arctan 的导数是 1/(1+(y/x)²)，再乘内层 y/x 对 x 的偏导 −y/x²，化简得 ∂z/∂x=−y/(x²+y²)。同理 ∂z/∂y=x/(x²+y²)。代点核对：在 (1, 1) 处两者分别是 −1/2 和 1/2。

求某一点的偏导时，可以先把另一个变量的值代进去，再对剩下的变量求导。例如 f(x, y)=x+(y−1)·arcsin√(x/y)，求 x 方向在 y=1 处的偏导：先令 y=1 得 f(x, 1)=x，立刻得到结果 1，不必去求那个带反正弦的复杂式子。要求导的那个变量不能先代值。

二阶偏导：两道例题

例 3：z=x³y²−3xy³−xy+1。

一阶：∂z/∂x=3x²y²−3y³−y，∂z/∂y=2x³y−9xy²−x。在它们上面各再求一次，四个二阶偏导的结果见下图：

两个混合偏导都等于 6x²y−9y²−1，与下一节的定理一致。

例 4：z=x·ln(xy)（x>0，y>0）。

一阶：∂z/∂x=ln(xy)+1（乘积法则，ln(xy) 对 x 的偏导是 1/x），∂z/∂y=x/y。二阶的推导可以照下面的源码录入：

\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} &= \frac{1}{x}, &
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} &= -\frac{x}{y^{2}} \\
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\,\partial y} &= \frac{1}{y}, &
\frac{\partial^{2} z}{\partial y\,\partial x} &= \frac{1}{y}
\end{aligned}

混合偏导的次序：什么时候可以不管

两个混合偏导在区域内连续，它们就相等（施瓦茨定理），例 3、例 4 都属于这种情况。反过来，条件不满足时两者可以不等，标准反例如下，函数在原点补定义为 0：

按定义算：f 对 x 的偏导沿 y 轴取值为 −y，再对 y 求导得 −1；f 对 y 的偏导沿 x 轴取值为 x，再对 x 求导得 1。原点处两个混合偏导一个是 −1、一个是 1，原因是它们在原点不连续。

常见错误

1. 常数没当彻底：对 x 求偏导时把 −3xy³ 里的 y³ 也求导。
2. 幂与指数混用：例 1 对 y 求偏导写成 y·x^(y−1)。
3. 内层漏乘：例 2 忘了乘 y/x 对 x 的偏导。
4. 先代值后求导代错变量：把要求导的那个变量先代成数。

四个二阶偏导排成两行两列时最容易看出哪两个应当相等。在本站编辑页点「LaTeX」，把例 4 的源码粘进去，偏导号写 \partial，二阶写 \partial^{2}；偏导记号与普通导数 d 的区别见 偏微分符号，导数几种记法的读法见 导数符号。

录完例 3 后可以做一次自查：把两个混合偏导并排写，逐项比对是否相同，相同了再从顶栏「导出」选「PNG 图片」贴进习题本。导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 偏微分符号：∂ 与普通导数 d 的差别
• 导数符号：撇号、分式与点号三种导数记法