参数方程二阶导数：为什么要再除以dx/dt

参数方程二阶导数要「再除以 dx/dt」，是因为 d²y/dx² 的意思是把一阶导数 dy/dx 再对 x 求一次导，而 dy/dx 算出来是 t 的函数，对 x 求导只能先对 t 求导、再除以 dx/dt。所以公式是 d²y/dx² = [d(dy/dx)/dt] ÷ (dx/dt)。直接把 y 和 x 各对 t 求两次导再相除，是这类题最常见的错法，下面用 2 道例题把正确算法和错误算法并排对照。

例 1 另用显式函数验算了一遍，例 2 给出了 t=2 处的数值，都可以自己代入对照。本文只讲手算步骤与书写格式，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

推导：多出来的那个 dx/dt 从哪来

记 y′ = dy/dx，它是 t 的函数，写成 y′(t)。要求的是 y′ 对 x 的导数，而 y′ 里只有 t、没有 x，没法直接对 x 求导，只能借道 t。链式法则说：y′ 对 t 的导数 = (y′ 对 x 的导数)×(x 对 t 的导数)，即

d(y′)/dt = (d²y/dx²)·(dx/dt)

直观地说，t 走一小步 Δt 时，一阶导数变化了 Δ(y′)，x 变化了约 (dx/dt)·Δt；要的是「每单位 x」上 y′ 的变化，所以要用 Δ(y′) 除以 Δx，而不是除以 Δt。多出来的那个 dx/dt，就是把「每单位 t」换算成「每单位 x」的系数。

两边同除以 dx/dt，就得到二阶导数公式：

把一阶导数的式子代进去展开，还能得到一个不含中间步骤的版本：d²y/dx² = (x′y″ − x″y′)/(x′)³，这里的撇号都表示对 t 求导。考试时两种写法都可以，推荐先求一阶、再按定义求二阶，步骤清楚、不易漏项；展开公式适合用来验算。

两道例题：正确算法与错误算法对照

例 1：x=t²，y=t³（t>0），求 d²y/dx²。

1. dx/dt = 2t，dy/dt = 3t²，所以 dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2。
2. 3t/2 对 t 求导得 3/2。
3. 再除以 dx/dt=2t，得 d²y/dx² = 3/(4t)。

换一种方法验算：t>0 时 t=√x，曲线就是 y = x^(3/2)，直接求两次导得 (3/4)x^(−1/2)。x=1 对应 t=1，两种方法都给出 3/4。

错误算法：y″(t)=6t，x″(t)=2，相除得 3t，t=1 时是 3，是正确值的四倍。

例 2：x=ln(1+t²)，y=t−arctan t，求 d²y/dx²。

1. dx/dt = 2t/(1+t²)，dy/dt = 1 − 1/(1+t²) = t²/(1+t²)。
2. 相除时 1+t² 约掉，dy/dx = t²/(2t) = t/2。
3. t/2 对 t 求导得 1/2。
4. 除以 dx/dt，得 d²y/dx² = (1+t²)/(4t)。t=2 时值为 5/8。

这一题的一阶导数化简后非常干净，容易让人以为二阶导数就是 1/2。第 4 步那个除法正是本文标题要讲的那一步，漏了它，答案里就少了 (1+t²)/(2t) 这个因子：t=2 时正确值是 5/8，漏除得到的是 1/2。

常见错误

1. 直接相除两个二阶导：写成 y″(t)/x″(t)。例 1 里它给出 3t，正确答案是 3/(4t)。
2. 求完 d(dy/dx)/dt 就停：例 2 停在 1/2，漏了第 4 步的除法。
3. 结果里混进 x：参数方程的二阶导数写成 t 的函数即可，硬换成 x 反而容易出错。
4. 展开公式的分母写成平方：(x′y″ − x″y′) 的分母是 x′ 的三次方，不是平方。用例 1 检验：x′=2t、y′=3t²、x″=2、y″=6t，分子 12t²−6t²=6t²，分母 8t³，结果 3/(4t)，与上面一致。

录入推导

二阶导数这一步要把「对 t 求导」和「除以 dx/dt」写在同一行里，阅卷人才看得出你没有漏。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 的第 3、4 步录成一条：

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{2t}{1+t^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+t^{2}}{2t}=\frac{1+t^{2}}{4t}

这一题型最适合记错题笔记：例 1 的正确算法与错误算法各写一行，上下排在一起，错在哪一步一对照就清楚。录成公式时留意繁分式，主分数线要比里面的小分数线长。

延伸阅读

• 导数符号：dy/dx、y′ 等几种导数记法怎么辨认
• 偏微分符号：∂ 与 d 的区别