参数方程求导：dy/dx公式与3道完整例题

参数方程求导只用一个公式：x=φ(t)、y=ψ(t) 时，dy/dx = (dy/dt)÷(dx/dt)，前提是 dx/dt≠0。它来自链式法则：y 通过 x 依赖 t，所以 dy/dt = (dy/dx)·(dx/dt)，两边同除以 dx/dt 就得到它。下面先讲清这个公式的来历和结果怎么读，再给椭圆、摆线和一条带竖直切线的曲线共 3 道完整例题，其中摆线一题演示「求切线先求参数值」。

本文只讲手算的步骤与书写，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

公式来历与速查

从增量看更直观：t 变化 Δt 时，x、y 分别变化 Δx、Δy，于是 Δy/Δx = (Δy/Δt)/(Δx/Δt)。令 Δt→0，分子分母分别趋于 dy/dt 和 dx/dt，这就是公式本身；dx/dt≠0 的前提也由此而来，分母不能为零。

结果怎么读：dy/dx 通常写成 t 的函数，不必化成 x 的函数，很多曲线（例如摆线）根本解不出 y 关于 x 的显式表达式，保留 t 反而最清楚；求某一点的斜率时，代入的是这一点对应的 t 值。

三道完整例题

例 1（椭圆）：x=3cos t，y=2sin t，求 dy/dx 及 t=π/4 处的切线。

1. dx/dt = −3sin t，dy/dt = 2cos t。
2. dy/dx = 2cos t/(−3sin t) = −(2/3)cot t。
3. t=π/4 时切点为 (3√2/2, √2)，斜率 −2/3。
4. 切线：y−√2 = −(2/3)(x−3√2/2)，整理得 y = −(2/3)x + 2√2。代回 x=3√2/2，右边等于 √2，切点在线上。

例 2（摆线，先求参数值）：x=2(t−sin t)，y=2(1−cos t)，求曲线在点 (2π/3−√3, 1) 处的切线。

1. 先求参数值。由 y=1 得 cos t=1/2，在一拱 0≤t≤2π 内 t=π/3 或 5π/3。代入 x 检验：t=π/3 时 x=2π/3−√3，对得上；t=5π/3 时 x=10π/3+√3，不对。所以 t=π/3。
2. dx/dt = 2(1−cos t)，dy/dt = 2sin t，dy/dx = sin t/(1−cos t)，用半角公式化成 cot(t/2)。
3. t=π/3 时斜率为 cot(π/6) = √3。
4. 切线：y−1 = √3(x−2π/3+√3)，整理得 y = √3x − 2√3π/3 + 4。

这一题如果跳过第 1 步，直接把横坐标当成 t 代进斜率，得到的数没有任何意义。

例 3（竖直切线）：x=t²，y=t³−3t。

1. dx/dt = 2t，dy/dt = 3t²−3，dy/dx = (3t²−3)/(2t)。
2. t=±1 时 dy/dt=0，对应点 (1, ∓2) 处是水平切线。
3. t=0 时 dx/dt=0 而 dy/dt=−3≠0，对应原点处切线竖直，方程是 x=0。
4. t=2 时切点 (4, 2)，斜率 9/4，切线 y−2 = (9/4)(x−4)。

常见错误对照

录入推导

参数方程的推导通常三行：两个导数、相除、代值。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 的斜率一行录成一条公式：

\frac{dy}{dx}=\frac{2\sin t}{2(1-\cos t)}=\cot\frac{t}{2},\quad\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}

摆线那题的分水岭是先求参数值，这一步不写，后面的斜率就没有着落。例 3 在 t=2 处的切线可以照同样的三行再写一遍：定参数、求斜率、点斜式，写好就是这类题的模板。至于二阶导数为什么要再除以一次 dx/dt，是这一题型的下一步。

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