对数求导法：幂指函数与连乘式的求导步骤

对数求导法就三步：两边取自然对数，把乘除、乘方化成加减、倍数；两边对 x 求导，左边 ln y 的导数是 y′/y；最后两边乘回 y，把 y 换回原式。它专门对付两类函数：底数和指数都含 x 的幂指函数，以及很多因式连乘、连除再开方的式子。下面各给 1 道完整例题，并把幂指函数改写成 e 的指数形式再求一次，两种写法的结果逐项对照。

两道题都附了代入具体 x 值的检验，读者可以照着自己代一遍。本文只讲手算的思路与书写，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

三步速查

两类适用的函数：

• 幂指函数 u(x)^v(x)：普通的幂函数法则和指数函数法则都不能直接用，取对数后指数被拉下来变成乘积，再用乘积法则即可。
• 多因式连乘：直接用积、商法则要写很长，取对数后每个因式各求一项，互不干扰，根号也只变成一个 1/2 的系数。

也有不必用它的时候，取对数反而多绕一步：单纯的幂函数 xⁿ 或指数函数 aˣ 直接套公式更快，两个因式相乘用积法则也不算长。判断标准是：底数和指数都含 x，或者因式多到积、商法则要写三项以上，就换用取对数的办法。

例 1：幂指函数 y=(ln x)^x

定义域要求 ln x>0，即 x>1。

1. 取对数：ln y = x·ln(ln x)。
2. 对 x 求导，右边用乘积法则，ln(ln x) 的导数要乘内层 ln x 的导数 1/x： y′/y = ln(ln x) + x·(1/ln x)·(1/x) = ln(ln x) + 1/ln x。
3. 回乘 y：y′ = (ln x)^x·[ln(ln x) + 1/ln x]。

检验：x=e 时 ln x=1，y=1，括号里是 0+1，所以 y′=1。

对照 e 的指数写法：由 u^v = e^(v·ln u)，y = e^(x·ln(ln x))。按复合函数求导，y′ = e^(x·ln(ln x))·[x·ln(ln x)]′，方括号里的导数正是上面第 2 步的右边，前面的 e^(x·ln(ln x)) 就是 y 本身。两种写法算的是同一件事，对数求导法只是把「e 的指数」换成了「两边取对数」。

例 2：连乘式 y=(x+1)²·√(x−1)/(x+4)³

取 x>1，各因式都为正。

1. 取对数，积变和、商变差、幂变倍数： ln y = 2ln(x+1) + (1/2)ln(x−1) − 3ln(x+4)。
2. 逐项求导：y′/y = 2/(x+1) + 1/[2(x−1)] − 3/(x+4)。
3. 回乘 y：y′ = (x+1)²√(x−1)/(x+4)³ · [2/(x+1) + 1/(2(x−1)) − 3/(x+4)]。

检验：x=2 时 y = 9·1/216 = 1/24；括号里 2/3 + 1/2 − 1/2 = 2/3；所以 y′ = 1/36。

如果直接用商法则和积法则，分子要写三项、每项再套链式法则，很容易漏掉根号那一项的 1/2。

常见错误对照

录入推导

对数求导法的三行推导适合用 aligned 环境上下对齐。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 录成三行，& 放在等号前：

\begin{aligned}\ln y&=2\ln(x+1)+\tfrac{1}{2}\ln(x-1)-3\ln(x+4)\\\frac{y'}{y}&=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}\\y'&=\frac{(x+1)^{2}\sqrt{x-1}}{(x+4)^{3}}\left(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}\right)\end{aligned}

上图只截了前两行，第三行接在后面，同样在等号处对齐。这类题最容易丢分的是回乘，所以写完先单看第三行：y 有没有换回原式。例 1 的 e 指数写法也值得录一行放在对数写法下面，两种方法互为验算。

延伸阅读

• 连乘符号：∏ 连乘记号的读法与展开
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明