两个重要极限：sinx/x与(1+1/x)^x的变形例题

两个重要极限是：□→0 时 sin□/□→1，以及 □→0 时 (1+□)^(1/□)→e，后者换成 x→∞ 就是 (1+1/x)^x→e。用它们的关键是认准「□」：同一个 □ 要同时出现在对应的位置上，而且必须趋于 0。下面先给标准形与推广形，再给 4 道变形例题，最后讲 x→∞ 时 sin x/x 等于 0 而非 1 的易错点。

标准形与推广形

第一重要极限还有几条常用推论，都由它加上三角恒等式得到：tan□/□→1，(1−cos□)/□²→1/2，arcsin□/□→1。这几条在等价无穷小替换里天天用，来源就是这张表的第一行。

第一个极限本身的来历是夹逼：在单位圆里比较面积，0<x<π/2 时有 sin x<x<tan x，同除以 sin x 再取倒数，得 cos x<sin x/x<1，两端都趋于 1。代数值也能看出趋势：x=0.1 时 sin x/x≈0.99833，x=0.01 时约 0.9999833。

推广形里「同一个 □」是硬要求。sin 3x/x 的分子是 sin 3x，分母却是 x，两处不一致，要先把分母凑成 3x，再乘回系数 3。

四道变形例题

例 1（系数不一致）：求 lim(x→0) sin 5x/tan 3x。

分子分母各凑一次：sin 5x/tan 3x=(sin 5x/5x)·(3x/tan 3x)·(5/3)。前两个因子都趋于 1，结果 5/3。x=10⁻⁵ 时原式约 1.66667。

例 2（借三角恒等式）：求 lim(x→0) (1−cos x)/x²。

用半角公式 1−cos x=2sin²(x/2)，原式变成 (1/2)·(sin(x/2)/(x/2))²。括号里趋于 1，结果 1/2，这正是上表里那条推论的来历。

例 3（换元让 □ 趋于 0）：求 lim(x→π) sin x/(π−x)。

x→π 时 x 本身并不趋于 0，要先换元。令 t=π−x，t→0，而 sin x=sin(π−t)=sin t，原式变成 sin t/t，结果 1。

例 4（第二个重要极限）：求 lim(x→∞) ((x−2)/x)^(3x)。

底数 (x−2)/x=1+(−2/x)，令 □=−2/x→0。指数 3x 写成 (1/□)×(−6)，于是原式等于 e 的 −6 次方，即 e⁻⁶。x=10⁷ 时原式约 0.0024788，与 e⁻⁶ 相符。

四道题的共同动作是「先认 □，再凑齐」：例 1 凑系数，例 2 凑半角，例 3 换元，例 4 凑指数。

易错点：x→∞ 时 sin x/x 等于 0

第一个重要极限的前提是 sin 后面那一块趋于 0。x→∞ 时 sin x 在 −1 与 1 之间摆动，是有界量，1/x 是无穷小，二者相乘仍是无穷小，所以 lim(x→∞) sin x/x= 0。

反过来，lim(x→∞) x sin(1/x) 等于 1：这里 □=1/x 趋于 0，改写成 sin(1/x)/(1/x) 就回到了标准形。同样的道理，lim(x→0) x sin(1/x) 等于 0，此时 1/x 趋于无穷，只能用「无穷小乘有界量」处理。

判断顺序只有一步：先写出 □，再看它在给定的趋向下是否趋于 0，是就用两个重要极限，否就改用有界量乘无穷小。

录入变形过程

变形题的得分点在「凑」的那一行。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 1 的三因子拆分录成一条公式，每个因子各用一个 \frac，乘号用 \cdot：

\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{\tan 3x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{3x}{\tan 3x}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5}{3}

录完在「可视化」模式里看分式是否对齐、lim 的下标是否在正下方。多道题要合成一份作业时，切到「文档编辑」逐条「插入公式」，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」；导出要登录并开通本站会员。做完本文，建议把上面那张 □ 判断表里的四个极限各录一条，作为自己的易错点清单。

延伸阅读

• 极限符号：lim 的上下标各表示什么
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明