拉格朗日中值定理证明题：构造辅助函数的思路

拉格朗日中值定理证明题的核心是构造辅助函数，思路叫「原函数法」：把要证的结论整理成「某个式子 = 0」，把其中的 ξ 换成 x，找出一个函数 F，使 F′(x) 恰好是这个式子，再验证 F 满足中值定理的条件。整理好之后，结论若只含一个函数在端点的差，就用拉格朗日定理；若化成了 F(a)=F(b) 的形式，就用罗尔定理收尾。下面配 3 道证明例题，每道都按「构造、验条件、用定理、整理结论」四步写出完整书写格式，最后列出常见的构造错误。

例 2、例 3 都取了具体数值把 ξ 算出来，确认它落在区间内部。本文只讲证明思路与书写，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

原函数法的四步

常见的另一种说法叫「常数 k 法」：把结论里只含端点的那一团记成常数 k，剩下只含 ξ 的部分再用原函数法，例 1 就是这样做的，两种说法最后构造出的函数相同。第 3 步不需要加常数，任取一个原函数即可。第 4 步决定用哪个定理：端点值相等用罗尔；端点值不等但结论正好是差商，用拉格朗日。

三道证明例题

例 1（定理本身）：f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，证明存在 ξ∈(a,b)，使 f′(ξ) = [f(b)−f(a)]/(b−a)。

【证明】记 k = [f(b)−f(a)]/(b−a)，按上表构造 F(x) = f(x) − kx。F 是 f 与一次函数之差，在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导。计算端点值：F(b) − F(a) = f(b) − f(a) − k(b−a) = 0，即 F(a) = F(b)。由罗尔定理，存在 ξ∈(a,b) 使 F′(ξ) = f′(ξ) − k = 0，即得结论。证毕。

例 2（不等式）：0<a<b，证明 (b−a)/(1+b²) < arctan b − arctan a < (b−a)/(1+a²)。

【证明】中间一项是 arctan x 在两端点的差，辅助函数就取 f(x) = arctan x，它在 [a,b] 上连续、可导。由拉格朗日定理，存在 ξ∈(a,b)，使 arctan b − arctan a = (b−a)/(1+ξ²)。因为 0<a<ξ<b，所以 1+a² < 1+ξ² < 1+b²，取倒数后不等号反向，乘以 b−a>0 即得结论。证毕。

取 a=1、b=2 检验：三项依次约为 0.2、0.3218、0.5，不等式成立；由 1/(1+ξ²)≈0.3218 解得 ξ≈1.452，在 (1,2) 内。几何上，这就是割线斜率等于某点切线斜率：

例 3（换元构造）：0<a<b，f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，证明存在 ξ∈(a,b)，使 f(b) − f(a) = ξf′(ξ)·ln(b/a)。

思路：ξf′(ξ) 可以看成 f′(ξ) 除以 (ln x)′ = 1/x 在 ξ 处的值，提示把自变量换成 ln x。令 x = eᵘ，构造 F(u) = f(eᵘ)。

【证明】F(u) = f(eᵘ) 在 [ln a, ln b] 上连续、在 (ln a, ln b) 内可导，且 F′(u) = f′(eᵘ)·eᵘ。由拉格朗日定理，存在 η∈(ln a, ln b)，使 F(ln b) − F(ln a) = F′(η)(ln b − ln a)，即 f(b) − f(a) = f′(e^η)·e^η·ln(b/a)。令 ξ = e^η，由 η 的范围得 a<ξ<b，即得结论。证毕。

取 f(x)=x²、a=1、b=2 检验：左边为 3，右边为 2ξ²·ln 2，解得 ξ≈1.471，确实在 (1,2) 内。

常见构造错误

1. 构造完不验端点值：例 1 若写成 F(x) = f(x) + kx，端点值不相等，罗尔定理用不上。每次构造后都要算一遍 F(b) − F(a)。
2. 把 ξ 的范围写成闭区间：中值定理给出的 ξ 在开区间 (a,b) 内，写成 [a,b] 会被扣分。
3. 放缩方向写反：例 2 里 ξ 越大，1/(1+ξ²) 越小，所以上界来自 a、下界来自 b。
4. 换元后区间没跟着换：例 3 的定理用在 [ln a, ln b] 上，最后要把 η 换回 ξ = e^η 并说明 a<ξ<b。

录入证明

证明题的书写要一行一个动作。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 的关键两行用 aligned 录成一条，& 放在等号和不等号前：

\begin{aligned}\arctan b-\arctan a&=\frac{b-a}{1+\xi^{2}},\quad a<\xi<b\\\frac{b-a}{1+b^{2}}&<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^{2}}\end{aligned}

开头那张四步表值得抄进笔记。遇到新题，先把「整理结论、换 ξ 为 x、求原函数、验条件」四格填满再动笔；哪一格填不出来，构造就卡在哪里。

延伸阅读

• 导数符号：dy/dx、y′ 等几种导数记法怎么辨认
• 帮助中心：LaTeX 模式与文档编辑的操作说明