考研中值定理证明：辅助函数构造题型归纳

考研中值定理证明题大体分 3 类：结论里只有一个 ξ 的单中值题，多用罗尔定理加辅助函数；同时出现 ξ 和 η 的双中值题，要把定理用两次；证明不等式的题，多用拉格朗日定理把差值换成导数再放缩。三类题的共同难点都是辅助函数怎么构造，下面先给一张常用构造速查表，再每类配一道完整解析，按「分析、构造、验条件、结论」四段写，可以直接用于复习或备课。

每道例题后面都取具体函数或具体数值检验一次：把中值点算出来，确认它落在要求的区间内部。本文只讲证明思路与书写格式，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

辅助函数构造速查

单中值题的做法是：把结论里的 ξ 换成 x，看它像哪个函数乘积或商的导数。下面几种最常见：

表里每一行的 F′ 都是「一个恒不为零的因子」乘以「结论里的式子」，所以 F′(ξ)=0 就等价于结论成立。第二、三行的因子含 x，用之前要确认区间内不取 x=0，或者像例 1 那样最后单独说明。

三类题型各一道完整解析

例 1（单中值）：f 在 [0,1] 上连续、在 (0,1) 内可导，f(1)=0。证明存在 ξ∈(0,1)，使 ξf′(ξ) + 2f(ξ) = 0。

• 分析：结论是 x·f′ + 2f 型，对应速查表第二行，n=2。
• 构造：F(x) = x²·f(x)。
• 验条件：F 在 [0,1] 上连续、在 (0,1) 内可导；F(0) = 0，F(1) = f(1) = 0。
• 结论：由罗尔定理，存在 ξ∈(0,1) 使 F′(ξ) = ξ(ξf′(ξ) + 2f(ξ)) = 0；因 ξ≠0，得 ξf′(ξ) + 2f(ξ) = 0。证毕。

检验：取 f(x) = 1−x，结论化为 −ξ + 2(1−ξ) = 0，解得 ξ = 2/3，在 (0,1) 内。

例 2（双中值）：f 在 [0,1] 上连续、在 (0,1) 内可导，f(0)=0，f(1)=1。证明存在两个不同的点 ξ、η∈(0,1)，使 f′(ξ) + f′(η) = 2。

• 分析：要两个不同的点，就在分点 1/2 两侧各用一次拉格朗日定理。
• 构造：辅助函数就是 f 本身，区间分成 [0,1/2] 与 [1/2,1]。
• 验条件：f 在两个子区间上都连续、可导。
• 结论：存在 ξ∈(0,1/2) 使 f(1/2) − f(0) = f′(ξ)/2，即 f′(ξ) = 2f(1/2)；存在 η∈(1/2,1) 使 f(1) − f(1/2) = f′(η)/2，即 f′(η) = 2 − 2f(1/2)。两式相加得 f′(ξ) + f′(η) = 2，且 ξ<1/2<η，两点不同。证毕。

检验：取 f(x) = x²，f(1/2) = 1/4，由 2ξ = 2·(1/4) 得 ξ = 1/4，由 2η = 2 − 1/2 得 η = 3/4，分别落在 (0,1/2) 与 (1/2,1) 内，且 f′(ξ) + f′(η) = 1/2 + 3/2 = 2。

变形：若结论改成 1/f′(ξ) + 1/f′(η) = 2，分点就不取 1/2，而用介值定理取 c 使 f(c) = 1/2，两段各用一次拉格朗日，得 1/f′(ξ) = 2c、1/f′(η) = 2(1−c)，相加为 2。分点取在哪里，由结论里要消掉什么来定。

例 3（不等式）：证明 x>0 时，x/(1+x) < ln(1+x) < x。

• 分析：ln(1+x) = ln(1+x) − ln 1，是 ln t 在两端点的差。
• 构造：f(t) = ln t，区间 [1, 1+x]。
• 验条件：ln t 在 [1, 1+x] 上连续、可导。
• 结论：存在 ξ∈(1, 1+x) 使 ln(1+x) = x/ξ。由 1<ξ<1+x 得 x/(1+x) < x/ξ < x。证毕。

检验：x=2 时三项约为 0.667、1.099、2，中值点 ξ = 2/ln 3 ≈ 1.820，落在 (1,3) 内；x=10 时三项约为 0.909、2.398、10，ξ = 10/ln 11 ≈ 4.170，落在 (1,11) 内。两组都满足不等式。

三类题的易错点

1. 单中值题构造后不验端点：F(a) 与 F(b) 不相等时罗尔定理用不上，例 1 必须写出 F(0)=F(1)=0。
2. 双中值题在同一区间用两次：得到的是同一个等式，保证不了两点不同，要分区间或换函数。
3. 约去中值点前不说明它不为零：例 1 从 ξ(…)=0 推出括号为零，要写明 ξ≠0。
4. 不等式题放缩方向写反：x/ξ 随 ξ 增大而变小，所以下界来自 ξ<1+x。

录入证明

证明题交上去时，构造与结论两行宜上下对齐。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 1 的构造与求导录成一条：

\begin{aligned}F(x)&=x^{2}f(x),\quad F(0)=F(1)=0\\F'(\xi)&=\xi\left(\xi f'(\xi)+2f(\xi)\right)=0\end{aligned}

考前最值得攒的是一份构造清单：速查表四行各配一道自己的单中值题，照例 1「分析、构造、验条件、结论」四段写完。要打印成讲义，就在「文档编辑」里把文字和公式排在一起导出成 Word 文档 (.docx)，导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 帮助中心：LaTeX 模式、文档编辑与导出的操作说明
• 全部使用指南：按使用技巧、常见问题、资讯动态分类的全部教程