考研数学二反常积分：判敛方法与真题解析

考研数学二反常积分的判敛题，做法可以压缩成两个操作：先拆区间，让每一段只含一个「坏点」（无穷远或使被积函数无界的点）；再在每个坏点附近把被积函数和 1/xᵖ 做极限比较，比值极限是非零常数就同敛散。各段都收敛，原积分才收敛。下面先给两个操作的速查，再用 3 道真题风格的例题完整走一遍：一道按定义求值，两道带参数判敛。

两个操作的速查

比较对象只用 p 积分：在无穷远处，1/xᵖ 当 p>1 时收敛；在瑕点 a 附近，1/(x−a)ᵖ 当 p<1 时收敛。坏点附近常用的等价与量级如下，大多数题的第二步就是查这张表：

对数没有等价的幂函数，只能夹在两个幂之间比较，这是数学二选择题最常设的坎。

例 1：按定义求值，两个积分对照

题目 判断 ① ∫ 从 −∞ 到 0 的 (1/x²)e^(1/x) dx，② ∫ 从 0 到 +∞ 的 (1/x²)e^(1/x) dx 的敛散性。

两题被积函数相同，原函数都是 −e^(1/x)，因为 e^(1/x) 求导得 −e^(1/x)/x²。

① 只有 −∞ 一个坏点：x→0⁻ 时被积函数 e^(1/x)/x² 趋于 0，在 0 左侧有界，0⁻ 不是瑕点，上限 0 处直接取左极限即可。x→0⁻ 时 1/x→−∞，e^(1/x)→0；x→−∞ 时 e^(1/x)→1。代入得 0−(−1)=1，收敛。

② 有两个坏点 0⁺ 和 +∞，按拆区间在 1 处分开。∫₁^(+∞) 等于 e−1，收敛；∫₀¹ 等于 lim(e^(1/x))−e，而 x→0⁺ 时 1/x→+∞，这个极限是 +∞，所以 ② 发散。两个积分只差一个方向，结论相反，关键在 0 处左右极限不同：左侧曲线贴着 x 轴，右侧在 0 附近急剧升高。

例 2：带对数的参数题

题目 设 m、n 是正整数，讨论 ∫₀¹ (ln²(1−x))^(1/m) / x^(1/n) dx 的收敛性与 m、n 的关系。

两端都可疑：x→0⁺ 时分母趋于 0，x→1⁻ 时 ln(1−x)→−∞。在 1/2 处拆开。

0 附近：ln(1−x) 等价于 −x，所以分子等价于 x^(2/m)，被积函数等价于 1/x^(1/n−2/m)。指数 1/n−2/m 一定小于 1（1/n≤1，又减去了正数），这一段收敛。

1 附近：x^(1/n)→1，只剩 |ln(1−x)|^(2/m)。取比较对象 1/√(1−x)，令 t=1−x，比值的极限为 0：

而 1/√(1−x) 对应 p=1/2<1，收敛，所以这一段也收敛。

结论：对任意正整数 m、n，这个积分都收敛，与 m、n 的取值都无关。1 附近的比较对象如果取成 1/(1−x)，比值同样趋于 0，但 1/(1−x) 本身发散，什么也推不出来。

例 3：两端都要管的参数题

题目 a、b 满足什么条件时，∫₀^(+∞) 1/(xᵃ(1+x)ᵇ) dx 收敛？

在 1 处拆开，两段分别比较。0 附近 (1+x)ᵇ→1，被积函数像 1/xᵃ，要 a<1；无穷远处被积函数像 1/x^(a+b)，要 a+b>1。两个条件同时成立才收敛。取 a=1/2、b=2 核对，两段都收敛，积分值为 π/2。整段判断可以照下面的源码录进笔记：

\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}} &= \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}+\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}} \\
x\to 0^{+}:\ \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}} &\sim \frac{1}{x^{a}},\quad a<1 \\
x\to +\infty:\ \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}} &\sim \frac{1}{x^{a+b}},\quad a+b>1
\end{aligned}

失分最多的四处

1. 两个坏点只比一次：例 3 若整体和 1/x^(a+b) 比较，只管住了无穷远，漏掉 a<1。
2. 只盯分母：例 2 的 1 附近分母正常，坏的是对数，不拆区间就看不见。
3. 单侧极限看错：例 1 里 e^(1/x) 在 0⁻ 趋于 0、在 0⁺ 趋于 +∞，混成一个就会把 ② 判成收敛。
4. 比较对象选得太松：比值极限为 0 时，比较对象必须收敛才有结论；为 +∞ 时，比较对象必须发散才有结论。

三道题的拆点、比较对象和结论汇总如下：

编辑器里例 3 的两条等价关系排出来是这样，自己录的时候对照 a、a+b 两个指数有没有写错位置：

积分号、上下限和无穷大的写法，积分符号 一文讲过录入时怎样把界限绑定到积分号。

错题本里最该留的是例 2 的两段比较：0 附近写幂次，1 附近写为什么选 1/√(1−x)。例 3 代码块下方的「在编辑器中打开」能把整段判断带进编辑页，换成新题的指数再抄。

延伸阅读

• 积分符号：有无上下限时结果类型的区别，以及录入时把界限绑定到积分号
• 数学符号一览表：按关系、运算、集合、逻辑、微积分等类别查找记号