考研有理函数积分：部分分式题型与练习题解析

考研有理函数积分的题目，难点多在「拆之前」：认出结构、选对换元，让要拆的分式尽量简单，拆分本身通常只有两三个待定系数。复习时可以按 4 类题型准备：可分解分母的定积分、二次分母的凑导数加配方、高次分母的幂次换元、三角有理式化成有理函数。下面先给题型归纳表，再给 4 道带逐步解析的练习题，每题附数值核对，可以直接用于备课或自测。

四类题型与第一步动作

四类题的共同收尾是逐项积分后核对：不定积分对结果求导，定积分用数值方法估一个值。考场上没有计算器，核对可以改成代一个简单的点，比较拆分前后两边是否相等。

教学上建议按 A→B→C→D 的顺序讲。A、B 两类练的是拆分和配方本身，C、D 两类练的是「怎样避免硬拆」，后两类更能拉开分数差距。

练习题 1–2：可分解分母与二次分母

题 1：求 ∫₂³ dx/(x²−x)。

解析：分母 x²−x=x(x−1)。遮盖法得 1/(x(x−1))=1/(x−1)−1/x。逐项积分后代限：

\int_2^3\frac{dx}{x^2-x}=\Bigl[\ln(x-1)-\ln x\Bigr]_2^3=\left(\ln 2-\ln 3\right)-\left(0-\ln 2\right)=\ln\frac{4}{3}

结果约 0.2877，数值积分给出同样的值。区间 [2, 3] 上 x−1 与 x 都为正，绝对值可以省去，这一点在答卷上写一句即可。

题 2：求 ∫₀¹ (x+1)/(x²+1) dx。

解析：分母 x²+1 不能分解。把分子拆成 x 与 1 两部分：x/(x²+1) 凑成分母导数的一半，积出 (1/2)ln(x²+1)；1/(x²+1) 的原函数是 arctan x。代限得 (1/2)ln 2+π/4，约 1.1320。

练习题 3–4：先换元，再拆分

题 3：求 ∫ dx/(x(x⁴+1))。

解析：分母是 5 次式，硬拆要设四五个系数。分子分母同乘 x³，得 x³ dx/(x⁴(x⁴+1))；令 t=x⁴，dt=4x³ dx，积分变成 (1/4)∫ dt/(t(t+1))。这是题 1 同型的两项拆分：1/(t(t+1))=1/t−1/(t+1)。

结果为 (1/4)ln(x⁴/(x⁴+1))+C。对它求导核对：在 x=1.3 处的数值导数是 0.19948，与被积函数值一致。

题 4：求 ∫₀^(π/2) dx/(1+sin x+cos x)。

解析：令 t=tan(x/2)，则 sin x=2t/(1+t²)，cos x=(1−t²)/(1+t²)，dx=2dt/(1+t²)，上下限变成 0 到 1。分母化成 (2+2t)/(1+t²)，与 dx 里的 1+t² 约掉，被积式只剩 1/(1+t)。

\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\ln 2

结果约 0.6931。这道题的有理函数只有一项，难点全在代换后的化简。

四道题的易错点与讲评要点

整理讲义时，把四道题的结果集中放在一页上，学生做完后对答案，老师讲评时也能按题型逐个对照。

录成讲义或错题本

四道题的推导都适合按「原式—换元或拆分—结果」三行排版。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 把题 3 的三行对齐录入，预览无误后切到顶栏「文档编辑」，在题目文字下方用「插入公式」逐题放入推导。

四道题录完，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」就是一份可继续修改的讲义，导出要登录并开通本站会员。备课时可以先录题 4：把万能代换的三个替换式写成一条公式，贴在讲义的题型 D 旁边，学生对照着做题。

延伸阅读

• 除号：分式表达与除号写法的转换
• 积分符号：积分号的读法、写法与上下限位置