第二类换元积分法：三种三角代换怎么选与例题

第二类换元积分法里最常用的是三角代换：见到 √(a²−x²) 令 x=a sin t，见到 √(a²+x²) 令 x=a tan t，见到 √(x²−a²) 令 x=a sec t。三种代换的目的相同，都是借一条三角恒等式把根号整个开掉。积分做完后，画一个直角三角形把 t 的三角函数换回 x，这一步叫回代。

三种根式对应的代换

最后一列决定根号开出来带不带负号：在规定的范围里 cos t、sec t、tan t 都非负，根号可以直接去掉。换元时还要记得 dx 一起换，例如 x=2 sin t 时 dx=2cos t dt。

回代三角形的画法只有一条规则：按代换式把 x 与 a 放到对应的两条边上，第三边用勾股定理补。x=a sin t 时，t 的对边是 x、斜边是 a；x=a tan t 时，对边是 x、邻边是 a；x=a sec t 时，斜边是 x、邻边是 a。

三道例题逐步推导

例 1（正弦代换）：求 ∫ dx/(x²√(4−x²))。

令 x=2 sin t，则 dx=2cos t dt，√(4−x²)=2cos t。被积式化成 2cos t/(4sin²t·2cos t)=(1/4)csc²t，积分得 −(1/4)cot t+C。

回代时画三角形：斜边 2，t 的对边 x，邻边 √(4−x²)，所以 cot t=√(4−x²)/x，结果是 −√(4−x²)/(4x)+C。

例 2（正切代换）：求 ∫ dx/(x²+9)^(3/2)。

令 x=3tan t，则 dx=3sec²t dt，(x²+9)^(3/2)=27sec³t。约分后剩 (1/9)cos t，积分得 (1/9)sin t+C。三角形的对边 x、邻边 3、斜边 √(x²+9)，所以 sin t=x/√(x²+9)。

例 3（正割代换）：求 ∫ √(x²−1)/x dx，x>1。

令 x=sec t（0≤t<π/2），则 dx=sec t tan t dt，√(x²−1)=tan t。被积式变成 (tan t/sec t)·sec t tan t=tan²t=sec²t−1，积分得 tan t−t+C。三角形的斜边 x、邻边 1、对边 √(x²−1)，所以 tan t=√(x²−1)，t=arccos(1/x)，结果是 √(x²−1)−arccos(1/x)+C。

三道题都可以对结果求导核对。例如例 3 的结果求导得 x/√(x²−1)−1/(x√(x²−1))，通分后正是 √(x²−1)/x。在 x=2.3 处取数值导数，得到 0.90054，与被积函数的值一致。

常见错误对照

最后一行的定积分可以顺手做完：−(1/4)(cot π/3−cot π/6)=(1/4)(√3−1/√3)=√3/6，约 0.2887，与数值积分结果一致。

把代换过程逐行录下来

三角代换的推导一般有四行：代换式、化简后的被积式、t 的原函数、回代结果。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 把这四行写成多行，例 1 可以照下面这段录入：

\begin{aligned}
\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}
&=\int\frac{2\cos t\,dt}{4\sin^{2}t\cdot 2\cos t}
=\frac{1}{4}\int\csc^{2}t\,dt\\
&=-\frac{1}{4}\cot t+C=-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x}+C
\end{aligned}

录完切回「可视化」模式，重点看根号的覆盖范围和分母里的 sin²t。换元时代入的 x=2 sin t 可以在第一行上方另写一行文字说明，整条公式从「导出」→「Word（含公式）」放进作业，导出要登录并开通本站会员。

例 3 的三角形三条边建议照图写在推导旁边，回代那一步就有了依据；正负号 一文讲了 ± 的写法，碰到 x<−1 那一侧需要分情况时用得上。

延伸阅读

• 积分符号：积分号的读法、写法与使用场合
• 正负号：正负两种结果怎么读、怎么写