无穷级数：数项级数判敛到幂级数展开的主线

无穷级数这一章可以串成六步：先判数项级数是否收敛，再分清交错级数是绝对收敛还是条件收敛，然后转到幂级数，依次求收敛域、求和函数、把函数展开成幂级数，最后学傅里叶级数。前两步回答「这个和存不存在」，后四步回答「这个和是什么函数」。下面先给六步速查表，再每步配一道能手算核对的例题。

六步主线速查

任何判敛之前先看一眼必要条件：通项不趋于 0，级数直接发散。通项趋于 0 只是收敛的前提，调和级数 Σ1/n 的通项趋于 0，照样发散。

六步逐个配例题：数项、幂与傅里叶级数

数项级数：正项与交错

例 1（比值法）：判断 Σ n²/2ⁿ 的敛散性。相邻两项之比是 (n+1)²/(2n²)，n→∞ 时趋于 1/2，小于 1，所以收敛。借助第 4 步的和函数方法还能算出它的和是 6，前 60 项的部分和已经与 6 相差不到百万分之一。

例 2（交错级数）：判断 Σ (−1)ⁿ⁻¹/√n。1/√n 单调减少且趋于 0，按莱布尼茨判别法收敛；取绝对值后是 p=1/2 的 p 级数，p≤1，发散。两条合起来，结论是 条件收敛。

比值法有一个盲区：极限等于 1 时判不出来。Σ1/n 与 Σ1/n² 的比值极限都是 1，前者发散、后者收敛，这时要换比较法或直接用 p 级数的结论。

幂级数：收敛域、和函数与展开

例 3（收敛域）：求 Σ (x−2)ⁿ/(n·3ⁿ) 的收敛域。系数之比的极限是 1/3，收敛半径 R=3，以 2 为中心得开区间 (−1, 5)。端点单独判：x=5 时变成调和级数，发散；x=−1 时变成 Σ(−1)ⁿ/n，按莱布尼茨判别法收敛。收敛域是 [−1, 5)。

例 4（和函数）：求 S(x)=Σ n xⁿ（n 从 1 起），|x|<1。思路是把 n 看成「求导掉下来的系数」：先提出一个 x，剩下的 Σ n xⁿ⁻¹ 正好是等比级数 Σ xⁿ 逐项求导的结果。

代一个值核对：x=1/2 时公式给出 (1/2)÷(1/4)=2，而 1/2+2/4+3/8+… 的前 50 项之和就是 2.0000。

例 5（函数展开）：把 1/(3−x) 在 x=1 处展开。先凑出 x−1：1/(3−x)=1/(2−(x−1))，再提出 1/2，写成 1/(1−q) 的形式，其中 q=(x−1)/2。套等比级数，得到 Σ (x−1)ⁿ/2ⁿ⁺¹（n 从 0 起），成立范围是 |x−1|<2，即 −1<x<3。x=2.2 时原函数值是 1.25，级数前 200 项的和也是 1.25。

傅里叶级数：把 f(x)=x 写成正弦级数

例 6：f(x)=x 在 (−π, π) 上是奇函数，所有余弦系数 aₙ 都是 0，只需算正弦系数 bₙ=(2/π)∫₀^π x sin nx dx。分部积分一次得 bₙ=2(−1)ⁿ⁺¹/n，前几项是 2、−1、2/3、−1/2。

x=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx,\qquad -\pi<x<\pi

在端点 x=±π 处，级数的每一项都是 0，收敛到 0，恰好是左右极限 π 与 −π 的平均，这就是狄利克雷收敛定理说的「间断点处收敛到平均值」。代 x=π/2 进去，还能顺手得到 1−1/3+1/5−…=π/4。

六步里最常见的四个卡点

1. 比值极限等于 1 还下结论。 这时比值法失效，要换判别法。
2. 收敛域漏判端点。 例 3 两个端点一个收敛、一个发散，区间一端闭一端开。
3. 和函数的下标错位。 逐项求导后 n 的起点可能从 0 变成 1，提出去的 x 也要记得乘回来。
4. 傅里叶级数在间断点写成函数值。 间断点处级数收敛到左右极限的平均，要单独写出来。

把无穷级数的推导录成一份笔记

级数的推导里 Σ 的上下限、分式和指数叠在一起，手抄最容易漏标。在公式编辑页点「LaTeX」，以例 3 为例，求和号写成下面这样，上下限就排在 Σ 的正上方和正下方：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{n\cdot 3^{n}},\qquad R=3,\quad x\in[-1,5)

Σ、∞ 这些符号记不住命令时，可以到 LaTeX 符号大全 查，点符号的「在编辑器中打开」就能带着它进编辑器。六道例题录完，在文档编辑里逐条「插入公式」，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」，就是一份按主线排好的复习稿；导出要登录并开通本站会员。

趁热先录例 3：收敛域结论和两个端点的判断各占一行，端点那一步正是阅卷最看重的地方。

延伸阅读

• 连乘符号：Π 与 Σ 的写法对照和常见误读
• 帮助中心：LaTeX 模式、文档编辑与导出的操作说明
• 正项级数敛散性判别方法：5 种判别法的使用顺序与例题