反常积分敛散性：无穷限与瑕积分的判别方法

判断反常积分敛散性，第一步先找「坏点」：积分限是无穷的，或被积函数在某点附近无界（瑕点）。第二步看坏点附近被积函数像哪个 1/xᵖ，拿它与 p 积分比较：两个函数之比趋于非零常数，敛散性就相同。能直接算出原函数的，也可以按定义取极限，但多数考题只问敛散，比较法更快。下面先给 p 积分结论表，再给无穷限与瑕积分各两道例题。

p 积分结论表：所有比较的基准

两行方向相反，是最容易记混的地方：在无穷远处，函数要衰减得比 1/x 快（p>1）才收敛；在 0 附近，函数要比 1/x 增长得慢（p<1）才收敛。p=1 两头都发散。一个推论是 ∫₀^(+∞) dx/xᵖ 对任何 p 都发散，因为两头的条件不可能同时满足。

比较判别法与极限形式

直接比较：在坏点附近 0≤f(x)≤g(x)，不等式只要在坏点附近成立即可，不必在整个区间上成立。g 的积分收敛则 f 收敛；f 的积分发散则 g 发散。适合被积式里有 sin²x、arctan x 这类有界因子的情形。下图把三条 p 曲线画在一起，比较时心里要有这张图：

极限形式：f、g 在坏点附近都非负，看比值的极限：

l 是 0 或 ∞ 时只能单向下结论：l=0 且 g 收敛，则 f 收敛；l=∞ 且 g 发散，则 f 发散。g 一般就取 1/xᵖ 或 1/(x−a)ᵖ。

无穷限例题

例 1：∫₁^(+∞) sin²x/x² dx。 当 x≥1 时 0≤sin²x/x²≤1/x²，而 1/x² 对应 p=2>1，积分收敛，所以原积分收敛。数值上把上限取到 2000，积分约 0.6732，剩下的尾巴不超过 1/2000。

例 2：∫₁^(+∞) (x+1)/(x²+3) dx。 x 很大时被积函数像 1/x。取 g=1/x，比值 (x²+x)/(x²+3)→1，l=1 在 0 与 ∞ 之间，两者同敛散。1/x 对应 p=1，发散，所以原积分发散。

瑕积分例题

例 3：∫₀¹ ln x/√x dx。 x=0 是瑕点。被积函数在 (0, 1) 上为负，先看它的绝对值 −ln x/√x。取 g=1/x^(3/4)：比值 −x^(1/4)·ln x→0，而 3/4<1，g 的积分收敛，按 l=0 那一条，原积分收敛。

这题恰好能按定义算出值，可以用来核对：

直接取 g=1/√x 行不行？比值是 −ln x→+∞，g 又收敛，得不出任何结论。p 取在 1/2 与 1 之间，是这类含对数的题的常用手法。

例 4：∫₀¹ dx/(eˣ−1)。 x=0 是瑕点。eˣ−1 在 0 附近约等于 x，取 g=1/x，比值 x/(eˣ−1)→1。1/x 在 0 附近对应 p=1，发散，所以原积分发散。

常见错误对照

判敛散的书面答案，关键是「与谁比、比值极限是多少、p 是几」三处写全。在本站编辑器里把这三处写成一行 aligned 推导即可；需要单独交一条时，用「导出」→「Word（含公式）」，导出要登录并开通本站会员。

例 3 里 g 的两种取法值得并排记：取 1/√x，比值趋于无穷，判不出；取 1/x^(3/4)，比值趋于 0，结论马上出来。含对数的瑕积分，p 取在分母里 x 的幂次与 1 之间（本题分母是 √x，所以取在 1/2 与 1 之间）。

延伸阅读

• 积分符号：积分上限写正无穷时的读法与写法
• 除号：比值 f/g 写成分式时的排版
• 考研数学二反常积分：判敛方法与考研题型