格林公式：使用条件、补线法与挖洞法例题

格林公式把平面闭曲线上的第二类曲线积分化成它所围区域上的二重积分：∮ P dx+Q dy 等于区域 D 上 ∂Q/∂x−∂P/∂y 的二重积分。能直接用它要同时满足两个条件：曲线 L 是 D 的正向边界（沿 L 走时 D 始终在左手边），P、Q 在 D 上具有一阶连续偏导数。曲线不闭合时补线，区域里有 P、Q 没定义的点时挖洞，下面各配一道例题，并单列方向取反这类错误。

公式与两个使用条件

两个条件缺一个，都要先改造曲线或区域，再套公式。

「正向」对有洞的区域也成立：外边界逆时针，内边界顺时针，两者都满足「区域在左手边」。挖洞法里小圆的方向就是按这条规则定的。判断时想象自己沿曲线行走，左手一侧是区域 D，就是正向。表里两行分别对应下文的例 1（补线）和例 2（挖洞）。

记住 ∂Q/∂x−∂P/∂y 的次序：Q 对 x、P 对 y，前减后。写成 ∂P/∂y−∂Q/∂x，结果差一个负号，和方向取反的效果一样，很难从答案本身看出来。

公式本身写成下面这样，左边沿 L 取正向，右边是 L 所围的区域 D：

补线法：半圆弧补上一段直径

例 1：计算沿 L 的曲线积分 I=∫ (eˣ sin y−2y)dx+(eˣ cos y−2)dy，L 是从点 A(2, 0) 沿上半圆 x²+y²=2x 到原点 O 的一段弧。

算被积函数：∂Q/∂x=eˣ cos y，∂P/∂y=eˣ cos y−2，两者之差是常数 2，eˣ 那部分正好抵消，这是选择格林公式的信号。

补线：补上 x 轴上从 O 到 A 的线段 OA。弧 L 从右往左经过上方，OA 从左往右，合起来是逆时针方向，所围区域 D 是半径 1 的上半圆盘，面积 π/2。

用公式：闭曲线上的积分等于 2 乘 D 的面积，即 2×π/2=π。

减去补线：OA 上 y=0、dy=0，P 在 y=0 时等于 eˣ·0−0=0，所以 OA 上的积分为 0。结果 I=π−0=π。

整段推导可以照下面的源码录入：

\begin{aligned}
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
&=e^{x}\cos y-\left(e^{x}\cos y-2\right)=2\\
\oint_{L+\overline{OA}} P\,dx+Q\,dy&=\iint_D 2\,d\sigma=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\\
I&=\pi-\int_{\overline{OA}}P\,dx+Q\,dy=\pi-0=\pi
\end{aligned}

挖洞法：绕原点的曲线

例 2：计算沿 L 的闭曲线积分 ∮ (x dy−y dx)/(x²+y²)，L 是正方形 |x|+|y|=1，逆时针。

这里 P=−y/(x²+y²)，Q=x/(x²+y²)。除原点外处处有 ∂Q/∂x−∂P/∂y=0，但原点在 L 内部，P、Q 在那里没有定义，不能直接得出 0。

挖洞：在原点周围取一个小圆 l：x²+y²=ε²，ε 足够小，使 l 落在正方形里。对夹在 L 与 l 之间的区域用公式：外边界 L 逆时针、内边界 l 顺时针，二重积分为 0，所以 L 上的积分等于 l 按逆时针走的积分。

在小圆上算：令 x=ε cos t、y=ε sin t，被积表达式化成 dt，t 从 0 到 2π，结果是 2π。

对照：若 L 换成不包围原点的闭曲线，例如圆心在 (3, 0)、半径 1 的圆，P、Q 在它所围区域内连续，直接用公式得 0。同一个被积表达式，答案是 2π 还是 0，只看曲线有没有绕住原点。

方向取反与另外三处常见错

格林公式的题，推导里最容易出错的是符号和方向，录入时建议把「∂Q/∂x−∂P/∂y」「补线或挖洞」「结果」分三行写。在本站公式编辑页点「LaTeX」，闭曲线积分号写 \oint，线段上的横线写 \overline{OA}；偏导号 ∂ 的读写见 偏导符号，站内其他数学教程可以在 教程文章列表 里按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类查找。

例 2 的挖洞过程也值得录一遍：第一行写 L 与 l 之间的区域用公式得 0，第二行写小圆上的参数化与 2π，确认方向记号无误后从「导出」选「Word（含公式）」放进作业；导出需要登录并开通本站会员。

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