施密特正交化：投影相减与单位化的例题

施密特正交化就是把一组线性无关的向量逐个「减掉在前面各向量方向上的投影」，得到两两正交的 β₁、β₂、β₃，最后再各自除以长度得到单位向量。公式只有一条规律：β₁=α₁，之后每个 βₖ 等于 αₖ 减去它在 β₁ 到 βₖ₋₁ 上的全部投影，投影系数是 (αₖ,βⱼ)/(βⱼ,βⱼ)。先正交、后单位化，整个过程只有分数、没有根号，根号留到最后一步才出现。

三条公式与两个动作

三个向量时整套做法是下面三步，完整的递推式见本节末尾的公式图，第 k 个向量要减掉 k−1 个投影：

1. 正交化：β₁=α₁；β₂=α₂−(α₂,β₁)/(β₁,β₁)·β₁；β₃ 再多减一项在 β₂ 上的投影。
2. 随手验内积：每算出一个 βₖ，立刻和前面每个 β 做内积，结果必须是 0。
3. 单位化：eₖ=βₖ/‖βₖ‖，其中 ‖βₖ‖ 是 (βₖ,βₖ) 的算术平方根。

投影系数的分母是已经算好的 β，而不是原来的 α，这是整套方法的关键：β 两两正交，减掉一个方向上的投影时，前面已经处理干净的方向不会被重新弄乱。第 2 步看着多余，却能在当场拦住符号错，比全部做完再返工省事得多。

先正交后单位化的理由是算得轻：如果每一步都先除以长度，后面的投影系数里会一路带着 √ 相乘；保留未单位化的 β，分母 (βⱼ,βⱼ) 只是一个有理数。还有一个常用的小技巧：某个 β 带分数时，可以整体乘一个非零数再往下算，投影系数的分子分母会同时放大，减掉的投影完全一样。

例 1：三个三维向量完整走一遍

例 1：α₁=(1, 2, 2)ᵀ，α₂=(1, 1, 0)ᵀ，α₃=(1, 0, 4)ᵀ，把它们化成一组标准正交向量。

第一步：β₁=α₁=(1, 2, 2)ᵀ，(β₁,β₁)=1+4+4= 9。

第二步：(α₂,β₁)=1+2+0=3，系数 3/9=1/3，于是 β₂=(1, 1, 0)ᵀ−(1/3)(1, 2, 2)ᵀ=(2/3, 1/3, −2/3)ᵀ，也就是 (1/3)(2, 1, −2)ᵀ。验内积：(β₂,β₁)=2/3+2/3−4/3=0。顺带算出 (β₂,β₂)=4/9+1/9+4/9= 1。

第三步：(α₃,β₁)=1+0+8=9，系数 9/9=1；(α₃,β₂)=2/3+0−8/3=−2，系数 −2/1=−2。减去两个投影：β₃=α₃−β₁+2β₂=(1, 0, 4)ᵀ−(1, 2, 2)ᵀ+(4/3, 2/3, −4/3)ᵀ=(4/3, −4/3, 2/3)ᵀ。验内积：(β₃,β₁)=4/3−8/3+4/3=0，(β₃,β₂)=8/9−4/9−4/9=0。

第四步：(β₃,β₃)=16/9+16/9+4/9=4，所以 ‖β₃‖= 2；三个长度依次是 3、1、2。单位化得 e₁=(1, 2, 2)ᵀ/3，e₂=(2, 1, −2)ᵀ/3，e₃=(2, −2, 1)ᵀ/3，把它们按列排成矩阵 Q，就是一个正交矩阵。整体验证可以算 QᵀQ：Q 的每个元素都是三分之几，乘出来应当正好是单位矩阵 E。分量的数值抄错，某个对角元会偏离 1；只抄错正负号时对角元仍是 1，错处落在非对角元上，所以非对角元要逐个看是不是 0。

例 2：换个顺序，结果怎么变

例 2：把例 1 的前两个向量对调，按 (1, 1, 0)ᵀ、(1, 2, 2)ᵀ、(1, 0, 4)ᵀ 的顺序再做一遍。

β₁=(1, 1, 0)ᵀ，(β₁,β₁)=2。第二个向量与 β₁ 的内积是 3，系数 3/2，β₂=(1, 2, 2)ᵀ−(3/2)(1, 1, 0)ᵀ=(−1/2, 1/2, 2)ᵀ，(β₂,β₂)= 9/2。第三步：(α₃,β₁)=1，系数 1/2；(α₃,β₂)=−1/2+8=15/2，系数 (15/2)÷(9/2)=5/3；β₃=(1, 0, 4)ᵀ−(1/2)(1, 1, 0)ᵀ−(5/3)(−1/2, 1/2, 2)ᵀ=(4/3, −4/3, 2/3)ᵀ。

单位化后前两个是 (1, 1, 0)ᵀ/√2 与 (−1, 1, 4)ᵀ/(3√2)，和例 1 完全不同；第三个仍是 (2, −2, 1)ᵀ/3。原因是前两个向量张成的平面没变，第三个单位向量就是这个平面的单位法向量，方向只能差一个正负号。

常见错误对照

下表是这类题最常丢分的四处，每一条都能用例 1 的数字复现：

排版时按「一步一行」录最清楚。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，内积写 (\alpha_2,\beta_1)，投影系数用 \frac，长度写 \|\beta_3\|；三行递推放进 aligned 环境，等号前加 &。下面这段就是例 1 第三步，复制后可以直接改数：

\begin{aligned}
\beta_3&=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2\\
&=(1,0,4)^{T}-\frac{9}{9}(1,2,2)^{T}-\frac{-2}{1}\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right)^{T}\\
&=\left(\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3}\right)^{T}
\end{aligned}

录完切到「可视化」模式，逐个分量和草稿对照，尤其是负号与 1/3 这类小分数。向量、希腊字母与范数记号的写法可以在 LaTeX 符号大全 里查到并一键带进编辑器。

正交化的结果与向量的先后顺序有关：从 α₃ 起步，得到的 β 会完全不同，但它们张成的空间不变。题目没指定顺序时照给出的顺序做，和参考答案对起来最方便。

延伸阅读

• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明
• 图文教程总目录：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的全部文章