高斯公式：曲面积分化三重积分与补面例题

高斯公式把封闭曲面上的第二类曲面积分化成它所围立体上的三重积分：∯ P dydz+Q dzdx+R dxdy 等于立体 Ω 上 ∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z 的三重积分。直接用它要同时满足两个条件：曲面 Σ 是 Ω 的整个边界并取外侧，P、Q、R 在 Ω 上具有一阶连续偏导数。曲面不封闭时补一块面、算完再减去补面上的积分；Ω 内有奇点时挖掉一个小球面，下面各配一道例题。

公式与两个使用条件

记配对关系：dydz 前面是 P，dzdx 前面是 Q，dxdy 前面是 R，按 x→y→z 轮换。右边三项都是「自己对自己的变量求偏导」再相加，这和格林公式里交叉求偏导、再相减的结构不同，两个公式放在一起复习时最容易串。

外侧的判断办法：想象站在 Ω 里往外看，法向量指向 Ω 外面的那一侧就是外侧。对球面是背离球心的一侧；对一个碗形曲面，碗底朝下的那一面才是所围立体的外侧；对补上去的平面盖子，立体在它下方就取上侧，在它上方就取下侧。公式本身写成下面这样，左边沿 Σ 取外侧，右边是 Σ 所围的立体 Ω：

直接用：球面上的三次方

例 1：计算 I=∯ x³dydz+y³dzdx+z³dxdy，Σ 是球面 x²+y²+z²=a² 的外侧。

Σ 封闭、取外侧，P=x³、Q=y³、R=z³ 处处有连续偏导，两个条件都满足。散度是 3x²+3y²+3z²，在球坐标下正好是 3r²，再乘体积元里的 r²sin φ，积分变量分离：

\begin{aligned}
I&=\iiint_{\Omega}3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dV
=3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{a}r^{4}\,dr\\
&=3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\frac{a^{5}}{5}=\frac{12\pi a^{5}}{5}
\end{aligned}

核对：a=1 时结果约为 7.54；把球面参数化、逐项直接算曲面积分，得到的也是 7.54。

这里有个常见的偷懒：看到 x²+y²+z²，就想用 a² 代进去。三重积分是在整个球体内部取值，只有在球面上的曲面积分才能用曲面方程代换，代了会得到 4πa⁵，比正确答案大。

补面：抛物面加一个圆盘盖

例 2：计算 I=∬ x dydz+y dzdx+z² dxdy，Σ 是旋转抛物面 z=x²+y² 被平面 z=1 截下的部分，取下侧。

补面：Σ 是一只开口朝上的碗，不封闭。补上 Σ₁：z=1（x²+y²≤1），取上侧。碗的下侧加盖子的上侧，合起来正是立体 Ω（x²+y²≤z≤1）的外侧。

用公式：散度 1+1+2z=2+2z。用「先二后一」：高度 z 处的截面是半径 √z 的圆，面积 πz，于是三重积分等于 (2+2z)πz 在 [0, 1] 上的积分，结果是 π+2π/3= 5π/3。

减去补面：Σ₁ 平行于 xOy 面，在它上面 dydz、dzdx 两项都是 0；z=1 代入，剩下的是单位圆盘的面积，积分等于 π。所以 I=5π/3−π= 2π/3。把抛物面参数化直接算，数值同样是 2.094。

奇点：挖掉一个小球面

例 3：计算 ∯ (x dydz+y dzdx+z dxdy)/r³，r=√(x²+y²+z²)，Σ 是椭球面 x²/4+y²+z²/9=1 的外侧。

除原点外逐项求偏导再相加，散度为 0；但原点在椭球内部，P、Q、R 在那里没有定义，不能直接写 0。以原点为球心取半径 ε 的小球面 Σ′，它足够小、落在椭球里。在两者之间的区域上用公式，积分为 0，所以椭球面外侧的积分等于小球面外侧的积分。在小球面上被积函数化成常数 1/ε²，乘以面积 4πε²，结果是 4π。

换成一个不包住原点的封闭曲面，比如球心在 (3, 0, 0)、半径 1 的球面，条件全部满足，直接得 0。

四处常见错

高斯公式的推导一般分三行：散度、三重积分、补面或挖洞的修正。在本站公式编辑页点「LaTeX」，封闭曲面积分号写 \oiint，三重积分号写 \iiint；空间积分记号的读法见 三重积分符号，一重到三重积分号的区别见 积分符号。

补面、求散度、先二后一、减去盖子，这四个动作各占一行，比挤在一段里好查错。拿例 2 照这个顺序练一遍，对完符号再誊进答卷。

延伸阅读

• 三重积分符号：空间积分的读写方法
• 积分符号：怎么读、怎么写与何时使用