基础解系怎么求：自由未知量取值的步骤

求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系分三步：把系数矩阵化成行简化阶梯形并数出秩 r；把没有主元的 n−r 个未知量定为自由未知量；让自由未知量依次取单位向量，每取一组就解出一个解向量，这 n−r 个向量就是所求。通解写成它们的任意线性组合 k₁ξ₁+…+kₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ。下面先把步骤与每一步的检查点列清楚，再用一个四元方程组和一个三元方程组完整演示。

三步求法与检查点

1. 化行简化阶梯形：只用初等行变换，化到每个主元都是 1、主元所在列的其余元素都是 0。秩 r 就是非零行的个数。
2. 定自由未知量：主元所在的列对应「约束未知量」，其余 n−r 列对应自由未知量。自由未知量可以出现在中间位置，未必是最后几个。
3. 依次取单位向量：自由未知量第一组取 (1, 0, …, 0)，第二组取 (0, 1, …, 0)，依此类推；每组代入阶梯形方程，解出约束未知量，拼成一个解向量。

检查点有两个：解向量的个数必须是 n−r；每个解向量代回原方程组的每一个方程都得 0。第二个检查建议逐个方程做，移项时的符号错误大多在这一步被拦下；核对时用原方程组，别用化简后的阶梯形，否则化简中的错误查不出来。比如化简时抄错一个符号，阶梯形照样整齐，只有代回原方程才会露馅。

例 1：四个未知量、秩为 2

例 1：求方程组 x₁+2x₂+x₃−x₄=0，2x₁+4x₂+3x₃+x₄=0，x₁+2x₂+2x₃+2x₄=0 的通解。

第二行减第一行的 2 倍、第三行减第一行，都得到 (0, 0, 1, 3)；第三行再减第二行成为零行；最后第一行减第二行，化成行简化阶梯形，前后两个矩阵见下方公式图。

r= 2，n=4，自由未知量有 4−2=2 个。主元在第 1、3 列，所以自由未知量是 x₂ 和 x₄，而 x₃ 是约束未知量。

由阶梯形移项得 x₁=−2x₂+4x₄，x₃=−3x₄。第一组取 x₂=1、x₄=0，解出 x₁=−2、x₃=0，得 ξ₁=(−2, 1, 0, 0)ᵀ；第二组取 x₂=0、x₄=1，解出 x₁=4、x₃=−3，得 ξ₂=(4, 0, −3, 1)ᵀ。

代回核对 ξ₂：第一个方程 4+0−3−1=0，第二个 8+0−9+1=0，第三个 4+0−6+2=0，全部成立；ξ₁ 同样逐个核对为零。通解为 x=k₁ξ₁+k₂ξ₂，k₁、k₂ 为任意常数。

例 2：三个未知量、只有一个解向量

例 2：求方程组 x₁−x₂+2x₃=0，2x₁+x₂+x₃=0，x₁+2x₂−x₃=0 的解向量与通解。

第二行减第一行的 2 倍、第三行减第一行，都得到 (0, 3, −3)；第三行减第二行成为零行。第二行除以 3 得 (0, 1, −1)，再加到第一行，行简化阶梯形的两行是 (1, 0, 1) 与 (0, 1, −1)。

r=2，自由未知量只有 x₃ 一个。取 x₃=1，得 x₁=−1、x₂=1，基础解系只有 ξ=(−1, 1, 1)ᵀ，通解 x=kξ。核对第二个方程：−2+1+1= 0。

若方程组右端不全为零，通解等于它的一个特解加上对应齐次方程组的通解，这里求出的解向量可以直接接着用。

常见错误对照

错误	后果	改法
自由未知量取成秩 r 个	解向量个数不对	自由未知量个数是 n−r
默认最后几个未知量是自由的	例 1 若取 x₃、x₄，x₁ 与 x₂ 的系数列成比例，x₁、x₂ 定不下来	看主元位置：没有主元的列才是自由的
两个自由未知量同时取 1	只得到一个向量，缺一个方向	每组只让一个自由未知量取 1
移项时漏变号	例 1 写成 x₁=2x₂−4x₄	写完代回原方程逐个核对

这套方法最常见的用途之一是求特征向量：把特征值代进 λE−A 后解的正是这样的齐次方程组。

把通解录成可复查的一页

这类推导按「阶梯形、自由未知量、取值、通解」四行录最清楚。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，列向量写成 \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}，任意常数写 k_1、k_2，一条通解放在一行里，读起来与课本排版一致；列向量的更多排法见 矩阵书写。

录完切到「可视化」模式，把每个解向量与草稿逐个分量对照。现在就可以试：把例 1 的阶梯形与通解录成两行，核对后从「导出」选「导出 Markdown (.md)」，点行尾标着 $$…$$ 的那一钮（独立公式），粘进课程笔记；导出要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 矩阵书写：行列结构的整理方法
• 逻辑与符号：多个方程同时成立怎么读写