抽象复合函数偏导数：f₁′、f₂′记号与二阶偏导

抽象复合函数偏导数的求法是：先画出变量关系树，按「同一条路径上的导数相乘、不同路径的结果相加」写出一阶偏导；记号 f₁′ 表示 f 对第一个位置的变量求偏导，f₂′ 表示对第二个位置求偏导。求二阶偏导时要记住，f₁′、f₂′ 仍然是两个中间变量的函数，对 x 或 y 再求导时必须再走一遍关系树。下面先讲关系树和记号，再用 z=f(xy, x+y) 等三道例题逐步求到二阶。

关系树与 f₁′、f₂′ 记号

以 z=f(u, v)、u=xy、v=x+y 为例，z 先分出两个中间变量 u、v，每个中间变量再分出 x 和 y，一共四条从 z 到自变量的路径。求 ∂z/∂x 时，只走终点是 x 的两条路径：z→u→x 与 z→v→x。

记号的约定如下：

用位置编号而不用中间变量名作下标，是因为中间变量常常没有名字，比如 f(x²−y², e^(xy)) 里两个位置都只是表达式。

把关系树画出来就是下面这样。求哪个自变量的偏导，就沿着终点是它的每一条路径各写一项，路径上的导数相乘：

例题：从一阶求到二阶

例 1：z=f(xy, x+y)，f 具有二阶连续偏导数，求 ∂z/∂x 与 ∂²z/∂x∂y。

一阶：路径 z→u→x 给出 f₁′·y，路径 z→v→x 给出 f₂′·1，所以 ∂z/∂x=y·f₁′+f₂′。

二阶：对 y 求偏导。第一项 y·f₁′ 是乘积，用乘积法则得 f₁′+y·(f₁′ 对 y 的偏导)；而 f₁′ 对 y 的偏导要再走关系树，等于 x·f₁₁″+f₁₂″。第二项 f₂′ 对 y 的偏导同理，等于 x·f₂₁″+f₂₂″。合并 f₁₂″ 与 f₂₁″ 后：

用具体函数核对：取 f(u, v)=uv，则 z=xy(x+y)=x²y+xy²，直接求得混合偏导为 2x+2y。代公式：f₁′=v=x+y，f₁₁″=0，f₁₂″=1，f₂₂″=0，结果是 (x+y)+(x+y)，与直接求一致。

例 2：z=f(x²−y², e^(xy))，f 具有二阶连续偏导数，求 ∂²z/∂x∂y。

一阶：∂z/∂x=2x·f₁′+y·e^(xy)·f₂′。

二阶：对 y 求偏导，两个位置对 y 的偏导分别是 −2y 与 x·e^(xy)。第一项 2x·f₁′ 中 2x 是常数，得 2x(−2y·f₁₁″+x·e^(xy)·f₁₂″)。第二项是三个因子相乘，y·e^(xy) 对 y 求导得 (1+xy)e^(xy)，f₂′ 对 y 求导得 −2y·f₂₁″+x·e^(xy)·f₂₂″。合并后共四项，排成下式：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x\,\partial y}
=-4xy\,f_{11}''+2\left(x^{2}-y^{2}\right)e^{xy}f_{12}''
+xy\,e^{2xy}f_{22}''+(1+xy)\,e^{xy}f_{2}'

最后一项 (1+xy)e^(xy)·f₂′ 来自对系数 y·e^(xy) 求导，它不带二阶记号，最容易漏写。

例 3：z=x³·f(xy, y/x)，f 具有二阶连续偏导数，求 ∂z/∂x 与 ∂²z/∂y²。

对 x：x³ 与 f 相乘，用乘积法则。两个位置对 x 的偏导是 y 与 −y/x²，所以 ∂z/∂x=3x²·f+x³·y·f₁′−x·y·f₂′。

对 y：x³ 是常数，两个位置对 y 的偏导是 x 与 1/x，得 ∂z/∂y=x⁴·f₁′+x²·f₂′。再对 y 求一次，f₁′、f₂′ 各自再走关系树：

常见错误对照

把三道题的推导排成一页

抽象函数的二阶偏导一写就是四五项，手抄时最容易丢项或串位。在本站公式编辑页点「LaTeX」，下标写 f_{12}''，两个撇号直接打两次 '；在每个加号前换一行，切回「可视化」模式逐项数一数项数是否与草稿一致。

偏导记号 ∂ 的读法与使用场合，见 偏导符号；∂ 与普通导数 d 的区别，见 偏微分符号。

今天就能做的一件事：把例 2 的四项结果录成一条公式，再取 f(u, v)=uv 自己核对一遍系数，核对无误后从「导出」选「导出 LaTeX (.tex)」并进复习笔记；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

• 偏导符号：∂ 的适用条件与记号区分
• 偏微分符号：偏微分与普通导数的差别