有理函数积分：部分分式拆分的4种情形与例题

有理函数积分分两步走：先看是不是假分式，分子次数不低于分母就先做多项式除法；再把真分式按分母的因式拆成部分分式，逐项积分。拆分时要处理的一共 4 种情形：先判假分式、做除法，再按三类因式设拆分形式——单个一次因式、重复的一次因式、不可约的二次因式（二次因式重复出现时，照重因式的办法逐次写全）。下面给四种情形的拆分对照、三道覆盖全部情形的例题和常见错误。

四种情形的拆分形式

情形 ④ 的分子要设成一次式 Bx+C，而不是常数。积这一项时，先把分子凑成分母的导数 2x+p 的倍数，剩下的常数部分配方后用反正切公式。

二次因式也会重复出现，比如分母里有 (x²+1)²。这时和情形 ③ 一样从 1 次写到 k 次：(B₁x+C₁)/(x²+px+q) + … + (Bₖx+Cₖ)/(x²+px+q)ᵏ，每一项的分子都设成一次式。次数高的那几项要用递推公式积分，本文例题不展开。

重因式最容易漏项：(x−a)³ 要设三项，分母依次是 (x−a)、(x−a)²、(x−a)³，一项都不能少。设的项数等于分母的次数，这可以当作检查：未知系数的个数与分母次数相同。例如分母 x(x+1)²(x²+1) 是 5 次，就要设 A、B、C 三个常数，再加二次因式上的 D、E，一共 5 个。

三道例题覆盖四种情形

例 1（情形 ① + ②）：求 ∫ x³/(x²−3x+2) dx。

分子 3 次、分母 2 次，先做除法：x³=(x²−3x+2)(x+3)+(7x−6)。分母分解为 (x−1)(x−2)，设 (7x−6)/((x−1)(x−2))=A/(x−1)+B/(x−2)。用遮盖法：盖住 x−1、代 x=1，得 A=1/(−1)=−1；盖住 x−2、代 x=2，得 B=8/1=8。

逐项积分，结果为 x²/2+3x−ln|x−1|+8ln|x−2|+C。在 x=3.3 处对结果做数值求导，得到 12.019，与被积函数的值一致。

例 2（情形 ③）：求 ∫ (x+3)/(x(x+1)²) dx。

设成三项：A/x+B/(x+1)+C/(x+1)²。代 x=0 得 A=3；代 x=−1 得 C=2/(−1)=−2；B 用二次项系数求：去分母后 x² 项只来自 A 和 B，左边没有 x² 项，所以 A+B=0，B=−3。

逐项积分：−2/(x+1)² 的原函数是 2/(x+1)，结果为 3ln|x|−3ln|x+1|+2/(x+1)+C。

例 3（情形 ②+④）：求 ∫ dx/((x−1)(x²+1))。

设 1/((x−1)(x²+1))=A/(x−1)+(Bx+C)/(x²+1)。遮盖法得 A=1/2；比较 x² 项系数 A+B=0，得 B=−1/2；比较常数项 A−C=1，得 C=−1/2。

后一项拆成 −(1/2)·x/(x²+1) 与 −(1/2)·1/(x²+1)，前者凑微分成对数、后者是反正切：

\int\frac{dx}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{2}\arctan x+C

x 的系数是凑微分的关键：x/(x²+1) 的分子差一个因子 2，积出来是 (1/2)ln(x²+1)，再乘前面的 −1/2 就是 −1/4。

常见错误对照

每题做完，任取一个数代入「拆分前」和「拆分后」两边，数值相等就说明系数没求错，比整题重做快得多。例 2 取 x=1：左边 4/4=1，右边 3−3/2−2/4=1，对得上。

把拆分过程录成可复查的笔记

有理函数题的推导有三个环节：除法、拆分、逐项积分，每个环节都值得单独占一行。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，用 aligned 把例 3 录成三行：第一行写拆分式，第二行写逐项积分，第三行写结果。分式用 \frac，反正切用 \arctan，录好的样子如下：

对应的源码可以直接复制：

\begin{aligned}\frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)}&=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}+1}\\\int\frac{dx}{(x-1)(x^{2}+1)}&=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-1}-\frac{1}{2}\int\frac{x\,dx}{x^{2}+1}-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^{2}+1}\\&=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{2}\arctan x+C\end{aligned}

录好后切回「可视化」模式核对分式层级，从顶栏「导出」→「Word（含公式）」把这一条放进作业，导出要登录并开通本站会员。三道题要合成一份时，在文档编辑里逐条「插入公式」，再导出「Word 文档 (.docx)」。下一步，可以先把例 1 的多项式除法那一行录进去，它是最容易抄错的一步。

延伸阅读

• 分数输入：分式的结构拆分与规范排版
• 积分符号：积分号怎么读、怎么写与何时使用