傅里叶级数展开：系数公式与周期2π例题

周期为 2π 的函数做傅里叶级数展开，就是用三个系数公式算出 a₀、aₙ、bₙ，写成 a₀/2 加上各次 aₙcos nx+bₙsin nx 的和。只在 [0, π] 上给出的函数，先奇延拓或偶延拓到 [−π, π]，分别得到正弦级数或余弦级数。收敛定理说：连续点处级数收敛到 f(x)，间断点处收敛到左右极限的平均值，答案里要把这些点单独写出来。

系数公式、奇偶性与收敛定理

三个系数都是在一个周期上积分再除以 π。常数项写成 a₀/2 而不是 a₀，是为了让 a₀ 能和 aₙ 共用同一个公式：把 n=0 代进 aₙ 的公式，得到的正好是 a₀。

函数的奇偶性能省掉一半计算：

收敛定理（狄利克雷条件）要求 f 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点，教材里常见的分段函数、多项式都满足。别忘了周期延拓后 x=±π 处常常是间断点，即使 f 在区间内部是连续的；只要 f(−π+) 与 f(π−) 不相等，端点处就要写平均值。

例 1：分段函数的完整展开

例 1：f(x) 在 [−π, 0) 上等于 0，在 [0, π) 上等于 x，周期 2π，把它展开成傅里叶级数。

f 在 [−π, 0) 上为 0，三个积分都只剩 [0, π] 上的一段：

• a₀=(1/π)∫₀^π x dx= π/2，常数项 a₀/2=π/4；
• aₙ=(1/π)∫₀^π x cos nx dx=((−1)ⁿ−1)/(n²π)，n 为偶数时为 0，n 为奇数时为 −2/(n²π)；
• bₙ=(1/π)∫₀^π x sin nx dx=(−1)ⁿ⁺¹/n。

f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi}\cos nx+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\right],\qquad -\pi<x<\pi

收敛情况：f 在 (−π, π) 内处处连续（x=0 处左右都是 0），级数等于 f(x)。x=±π 处，周期延拓后左极限是 π、右极限是 0，级数收敛到 π/2。把 x=π 代进级数，正弦项全为 0，余弦项给出 π/4+(2/π)(1+1/9+1/25+…)，令它等于 π/2，顺带得到 1+1/9+1/25+…=π²/8。

核对：级数取前 20000 项，x=1 处的和是 1.0000，x=π 处是 1.5708，与 f(1)=1、π/2 一致。

例 2：奇延拓成正弦级数

例 2：把 f(x)=x(π−x)（0≤x≤π）展开成正弦级数。

延拓：做奇延拓，令 F(x)=−f(−x)（−π≤x<0）。因为 f(0)=f(π)=0，延拓后的函数在 0 和 ±π 处都连续，所以级数在整个 [0, π] 上都收敛到 f(x)，没有需要单独写的点。

算系数：aₙ 全为 0，bₙ 要分部积分两次：

\begin{aligned}
b_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\sin nx\,dx
=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}(\pi-2x)\cos nx\,dx\\
&=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{n^{2}}\int_{0}^{\pi}\sin nx\,dx
=\frac{4\left(1-(-1)^{n}\right)}{\pi n^{3}}
\end{aligned}

n 为偶数时 bₙ=0，n 为奇数时 bₙ=8/(πn³)，展开式见下方编辑器截图。核对：x=π/2 时左边是 π²/4≈ 2.4674，级数前 2000 项之和也是 2.4674。

若改做偶延拓，得到的是余弦级数 π²/6 减去各项 cos 2kx/k²，代 x=0 就是 1+1/4+1/9+…=π²/6。同一个函数两种展开都对，看题目要哪一种。

四处常见错

傅里叶级数的推导里，求和号、方括号、分式和 (−1)ⁿ 叠在一起，手抄时方括号最容易丢。在本站公式编辑页点「LaTeX」，把例 1 的结果粘进去，切到「可视化」模式看方括号是否把余弦项和正弦项都包住；从网页上复制公式到编辑器之前该核对什么，见 网页公式转LaTeX。

把例 2 誊成答题稿时，分部积分拆成两行，奇数项的展开式单列一行；三行收进同一份文档，存成 .docx 便是完整的展开答题稿（这是会员功能，需先登录）。

延伸阅读

• 网页公式转LaTeX：复制前先核对结构
• 帮助中心：LaTeX 模式、文档编辑与导出的操作说明