莱布尼茨公式：乘积的n阶导数与例题

莱布尼茨公式给出乘积的 n 阶导数：(uv)⁽ⁿ⁾ 等于 k 从 0 到 n 求和，每项是组合数 C(n,k) 乘 u 的 n−k 阶导数再乘 v 的 k 阶导数，系数和 (a+b)ⁿ 的二项式展开完全一样。用它的关键是让 v 取多项式：多项式求导几次就变成 0，求和只剩前几项。比如 x²eˣ 的 n 阶导数，只剩三项，结果是 eˣ[x²+2nx+n(n−1)]。

下面先写公式和取 u、v 的规则，再给两道完整例题：一道求一般的 n 阶导数，一道求某一点处的高阶导数值。

公式与取 u、v 的规则

写的时候对照二项式展开记最省力：(a+b)ⁿ 里 a 的指数从 n 降到 0、b 的指数从 0 升到 n，莱布尼茨公式里把「指数」换成「求导阶数」就是。n=2 时它就是 (uv)″=u″v+2u′v′+uv″，可以拿来核对记忆。

取 u、v 的规则只有一条：多项式放在 v 这一侧，v 是 m 次多项式时，k>m 的项全部为 0，求和只剩 m+1 项。u 选 n 阶导数有现成公式的函数，常用的几条如下：

公式本身的写法见下图，求和号下方从 k=0 起、上方到 n 止，组合数写成竖排的 n 上 k 下。

例 1：x²eˣ 的 n 阶导数

题目：y=x²eˣ，求 y⁽ⁿ⁾。

1. 取 u、v：u=eˣ，v=x²。v 的导数依次是 2x、2、0，从 k=3 起全部为 0。
2. 写出前三项：k=0 项是 C(n,0)·eˣ·x²；k=1 项是 C(n,1)·eˣ·2x；k=2 项是 C(n,2)·eˣ·2。
3. 代入组合数：C(n,1)=n，C(n,2)=n(n−1)/2，第三项的 2 与分母 2 约掉。
4. 合并：y⁽ⁿ⁾=eˣ[x²+2nx+n(n−1)]。

取 n=3 核对：结果是 eˣ(x²+6x+6)。直接逐阶求导，y′=eˣ(x²+2x)，y″=eˣ(x²+4x+2)，y‴=eˣ(x²+6x+6)，两边一致。

\left(x^{2}e^{x}\right)^{(n)}=\binom{n}{0}e^{x}x^{2}+\binom{n}{1}e^{x}\cdot 2x+\binom{n}{2}e^{x}\cdot 2=e^{x}\left[x^{2}+2nx+n(n-1)\right]

例 2：x²cos x 在 x=0 处的 10 阶导数

题目：y=x²cos x，求 y⁽¹⁰⁾(0)。

1. 取 u、v：u=cos x，v=x²，同样只剩 k=0、1、2 三项。
2. 写一般式：y⁽ⁿ⁾=x²cos(x+nπ/2)+2nx·cos(x+(n−1)π/2)+n(n−1)cos(x+(n−2)π/2)。
3. 代 x=0：前两项都带 x 因子，为 0；只剩 n(n−1)cos((n−2)π/2)。
4. 代 n=10：90·cos(4π)= 90。

换一种办法核对：x²cos x 的麦克劳林展开里 x¹⁰ 那一项来自 cos x 的 x⁸ 项，系数是 1 除以 8 的阶乘；y⁽¹⁰⁾(0) 等于这个系数乘 10 的阶乘，结果是 10×9= 90，两种办法一致。

常见错误对照

最后一行最隐蔽：第 k 项里 u 求导的次数是 n−k，不是 n。写每一项时先标出 u 求导几次、v 求导几次，两数相加等于 n，再往下写。

录这类推导时，组合数用 \binom{n}{k}，高阶导数的阶数写成上标 ^{(n)}，本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」照着输入即可。圆括号要保留，y 的 n 次方与 y 的 n 阶导数就靠它区分。

做完例 2 可以把 10 换成 11 再写一遍：n=11 时 cos(9π/2)=0，答案是 0，这和 x²cos x 是偶函数、奇数阶导数在 0 处为 0 正好对上。

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