非齐次线性方程组通解：特解加基础解系的写法

非齐次线性方程组通解的写法是：先确认系数矩阵 A 与增广矩阵 (A, b) 的秩相等，然后求出方程组的一个特解 η*，再求出对应齐次方程组 Ax=0（导出组）的基础解系 ξ₁、…、ξₙ₋ᵣ，通解就是 x=η*+k₁ξ₁+…+kₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ。特解只要一个，取法可以不同；基础解系的向量个数恰好是 n−r，n 是未知数个数，r 是秩。整道题只需把增广矩阵化一次行简化阶梯形，特解和基础解系都从同一张阶梯形里读出来。

先比两个秩，再写通解

读阶梯形的方法固定：没有主元的列对应自由未知量。特解让自由未知量全部取 0，右端那一列直接给出主元变量的值；基础解系把右端看成 0，自由未知量依次取单位向量。两件事用的是同一组移项后的方程，只差右端常数要不要带上。

写完通解有两道检查：特解代回原方程组，每个方程等于右端；每个基础解系向量代回，每个方程等于 0。第二道检查容易被省掉，但抄错的系数往往就藏在这里。

下图是例 1 增广矩阵化简前后的样子，竖线右边是常数列。

例 1：四个未知数、秩为 2

例 1：求方程组 x₁+x₂−x₃+2x₄=1，2x₁+3x₂+x₃+3x₄=4，3x₁+4x₂+5x₄=5 的通解。

化阶梯形：第二行减第一行的 2 倍、第三行减第一行的 3 倍，都得到 (0, 1, 3, −1 | 2)；第三行再减第二行成为零行；第一行减第二行得 (1, 0, −4, 3 | −1)。r(A)=r(A, b)= 2，小于 n=4，有无穷多解，自由未知量是 x₃、x₄。

移项：x₁=−1+4x₃−3x₄，x₂=2−3x₃+x₄。

特解：x₃=x₄=0，得 η*=(−1, 2, 0, 0)ᵀ。代回：−1+2=1，−2+6=4，−3+8=5，三个方程都成立。

基础解系：去掉常数项，x₃=1、x₄=0 得 ξ₁=(4, −3, 1, 0)ᵀ；x₃=0、x₄=1 得 ξ₂=(−3, 1, 0, 1)ᵀ。代回原方程组左边：ξ₁ 依次得 4−3−1=0、8−9+1=0、12−12=0；ξ₂ 依次得 −3+1+2=0、−6+3+3=0、−9+4+5=0。

通解：x=η*+k₁ξ₁+k₂ξ₂，k₁、k₂ 为任意常数。

例 2：含参数 a、b 的讨论

例 2：方程组 x₁+x₂+x₃=1，x₁+2x₂+3x₃=3，x₁+3x₂+ax₃=b。a、b 取何值时无解、只有一组解、有无穷多解？有无穷多解时写出通解。

第二行减第一行得 (0, 1, 2 | 2)，第三行减第一行得 (0, 2, a−1 | b−1)，再减去前一行的 2 倍，第三行变成 (0, 0, a−5 | b−5)。整道题的讨论都看这一行：

• a≠5：r(A)=r(A, b)= 3，只有一组解，x₃=(b−5)/(a−5)，x₂=2−2x₃，x₁=x₃−1。
• a=5 且 b≠5：第三行是「0=b−5」，r(A)=2，r(A, b)=3，无解。
• a=5 且 b=5：r(A)=r(A, b)=2<3，由 x₂=2−2x₃、x₁=−1+x₃ 得通解 x=(−1, 2, 0)ᵀ+k(1, −2, 1)ᵀ。代回 (1, −2, 1)ᵀ：1−2+1=0，1−4+3=0，1−6+5=0。

常见错误对照

例 2 的条件里有 a≠5 这样的关系式，≠ 的输入与读法见 不等于符号。录这类答案时，在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，列向量用 pmatrix，增广矩阵的竖线可以用 \left(\begin{array}{ccc|c}…\end{array}\right) 画出来；下面是例 1 的通解，复制后切到「可视化」模式核对：

x=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}4\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2\in\mathbb{R}

带参数的题，答案按 a≠5、a=5 且 b≠5、a=5 且 b=5 分三块写，每块先写秩的比较结果再给解，阅卷时一眼能对上。

延伸阅读

• 不等于符号：判断关系的基本用法
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明