离散型随机变量数学期望：分布列求期望与方差

求离散型随机变量数学期望分三步：先列出分布列（X 的每个取值 xₖ 与概率 pₖ），再算 E(X)=Σxₖpₖ，也就是每个取值乘以它的概率后相加；要方差时再算 E(X²)=Σxₖ²pₖ，最后 D(X)=E(X²)−[E(X)]²。列分布列时先核对概率之和等于 1，这是后面所有计算的前提。遇到 aX+b 或几个变量相加，用期望的线性性质 E(aX+b)=aE(X)+b、E(X+Y)=E(X)+E(Y)，比重新列分布列快得多。

三步速查与线性性质

1. 列分布列：写出 X 所有可能的取值，逐个算概率，核对 Σpₖ=1。
2. 算 E(X) 与 E(X²)：在分布列旁边加两列 xₖpₖ 与 xₖ²pₖ，各自求和。
3. 算 D(X)：E(X²) 减去 E(X) 的平方，结果必须大于等于 0。

线性性质有三条最常用：E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)，常数 b 不影响方差；E(X+Y)=E(X)+E(Y)，不要求独立。最后一条允许把一个复杂的计数变量拆成若干个只取 0 与 1 的变量之和，每个的期望就是它取 1 的概率。

把 xₖpₖ、xₖ²pₖ 两列直接写在分布列旁边，比在草稿上零散地乘好查得多：哪一格乘错，对着表一眼就能看出来。

下图是求期望与方差要用的公式，前两行求期望与方差，最后一行是 aX+b 的线性性质。

例 1：由分布列直接求

例 1：某积分游戏每玩一次净得的积分 X 取 −1、0、2、5，概率依次为 0.4、0.3、0.2、0.1，求 E(X) 与 D(X)。

概率之和 0.4+0.3+0.2+0.1=1。E(X)=−1×0.4+0×0.3+2×0.2+5×0.1=−0.4+0+0.4+0.5= 0.5。E(X²)=1×0.4+0+4×0.2+25×0.1=0.4+0.8+2.5=3.7，D(X)=3.7−0.5²= 3.45。期望 0.5 表示长期来看每玩一次平均净得 0.5 分，而单次的结果只可能是四个取值之一，期望本身并不一定是 X 能取到的值。

例 2：先列分布列再求

例 2：袋中有 3 个红球、2 个白球，不放回地任取 2 个，X 为取到的红球数，求 E(X) 与 D(X)。

从 5 个球里取 2 个共有 10 种取法。X=0 表示两个都是白球，只有 1 种，P= 1/10；X=1 是一红一白，3×2=6 种，P= 6/10；X=2 是两红，3 种，P= 3/10。三个概率之和为 1。

E(X)=0×1/10+1×6/10+2×3/10=12/10= 1.2；E(X²)=0+6/10+4×3/10=1.8；D(X)=1.8−1.2²= 0.36。

例 3：用线性性质少算一次分布列

例 3：沿用例 2。(1) 设 Y=3X−2，求 E(Y) 与 D(Y)；(2) 不列分布列，用拆分法求 E(X)。

(1)：E(Y)=3×1.2−2= 1.6，D(Y)=3²×0.36= 3.24，常数 −2 对方差没有影响。

(2)：令 X₁、X₂ 分别表示第一次、第二次是否取到红球（取到记 1，否则记 0），则 X=X₁+X₂。不放回抽取时每一次取到红球的概率都是 3/5，所以 E(X)=3/5+3/5=6/5=1.2，与例 2 一致。X₁、X₂ 并不独立，但期望相加照样成立。

常见错误对照

录分布列时用 pmatrix 排两行，上行写取值、下行写概率，这是教材常见的记法：在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，粘贴下面这段就是例 2 的分布列；求和号写 \sum_{k}，≠、∈ 这类关系记号的读法可以在 数学符号一览表 里按类别查。

X\sim\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\ \frac{1}{10} & \frac{6}{10} & \frac{3}{10}\end{pmatrix}

分布列写完先把第二行加一遍，1/10+6/10+3/10 等于 1 再往下算。像例 3 那样的不放回抽取，拆成 X₁+X₂ 往往比列全分布列省事，也不用操心两次是否独立。

延伸阅读

• 数学符号一览表：按类别快速查找
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明