微分方程怎么解：先判类型再选解法的对照表

微分方程怎么解，第一步永远是判类型：先看阶数，再看方程的形式，类型定了，解法入口也就定了。本科阶段常见的是 5 类：一阶的可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程，以及二阶常系数线性方程。下面先给一张类型判别对照表，再给每一类配一道能代回原方程验算的例题，最后把五道题的通解排成一页。

类型判别对照表

判别时把方程整理成 y′=f(x,y) 的形式（二阶方程把 y″ 放在左边），然后按表从上往下对照。同一个方程可能同时属于两类，这时选步骤较少的那一种。例如 y′=xy 既可分离变量，也是 P(x)=−x、Q(x)=0 的一阶线性方程，分离变量只需两行，更省事。

一阶线性方程的通解公式值得单独记下来，伯努利方程换元之后也要用到它，积分因子法本质上就是这条公式的推导过程。记的时候留意两处指数的符号相反：括号外是 −∫P(x) dx，括号里是 +∫P(x) dx，写反了整条通解都会错。通解公式见下图。

一阶方程四类例题

① 可分离变量：y′=2xy。分离得 dy/y=2x dx，两边积分 ln|y|=x²+C₁，整理成 y=Ce^(x²)。代回检验：y′=2xCe^(x²)=2xy，成立。

② 齐次方程：y′=(x+y)/x=1+y/x。令 u=y/x，则 y=ux，y′=u+xu′，代入得 xu′=1，所以 u=ln|x|+C，通解 y=x(ln|x|+C)。

③ 一阶线性：y′+y=x。这里 P=1，Q=x，积分因子是 eˣ。两边乘 eˣ 后左边正好是 (yeˣ)′，于是 (yeˣ)′=xeˣ，积分得 yeˣ=(x−1)eˣ+C，所以 y = x − 1 + Ce⁻ˣ。下图是这四行在编辑器里按等号对齐排好的样子。

代回：y′+y=1−Ce⁻ˣ+x−1+Ce⁻ˣ=x，成立。

这类「判型 → 变形 → 积分 → 回代」的长链条，最适合在公式编辑页里一行一个变形地排下来，第一行标类型、最后一行写检验。

④ 伯努利方程：y′+y=y²，n=2。两边除以 y²，令 z=y⁻¹，则 z′=−y⁻²y′，方程化为 z′−z=−1，这是一阶线性方程，解得 z=1+Ceˣ，所以 y=1/(1+Ceˣ)。

二阶常系数方程

齐次部分先写特征方程 r²+pr+q=0，按判别式的三种情况写通解：

⑤ 例题：y″−3y′+2y=e³ˣ。特征方程 r²−3r+2=0 的根是 1 和 2，齐次通解 C₁eˣ+C₂e²ˣ。右端指数 3 不是特征根，设特解 y*=Ae³ˣ，代入得 9A−9A+2A=1，A=½。通解为 y=C₁eˣ+C₂e²ˣ+½e³ˣ。

若把方程换成 y″+2y′+5y=0，特征根是 −1±2i，属于复根情形，实部 −1 进指数、虚部 2 进三角函数，齐次通解如下图：

设特解时要留意：右端指数若恰好是单根，特解前乘 x；是二重根则乘 x²。漏掉这一步，待定系数会解出矛盾。

常见错误与验算习惯

分离变量时丢解：①中两边除以 y，默认了 y≠0，而 y=0 本身也满足方程。它对应通解里 C=0 的情形，写通解时让 C 取任意常数即可包含进去。

齐次方程忘记回代：解出 u 之后要换回 y=ux，停在 u 的表达式上等于题目只做了一半。

特解形式设错：右端是 e^(λx) 形式时，先查 λ 是不是特征根，再决定乘不乘 x。验算的方法始终只有一个：把结果代回原方程，左右两边相等才算对。

五类例题整理成一页笔记

复习时把五类方程的原题和通解并排放在一页上，比按章节翻书更容易看出区别。下面这页按类型排好，每条都能代回原方程核对。

在本站做这份笔记：打开公式编辑页，点右上角「LaTeX」，导数写作 y'、y''，多行推导用 aligned 环境、等号前放 &，例③可以直接贴下面这段，再切「预览模式」核对上下标。

\begin{aligned}
y'+y &= x \\
(ye^{x})' &= xe^{x} \\
ye^{x} &= (x-1)e^{x}+C \\
y &= x-1+Ce^{-x}
\end{aligned}

五道题都录好后，切到「文档编辑」用「插入公式」按类型放进同一篇文档，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」，按默认的 LaTeX 输出格式插入的公式，在 Word 里能双击再改；导出需要登录并开通本站会员。常用记号的读法可以参考 数学符号读法大全，多元函数的方程会用到 偏微分符号。

延伸阅读

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• 偏微分符号：偏导与普通导数的差别
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