导数的应用：单调性、极值、凹凸与渐近线4类题
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导数的应用在习题里主要是四类题：用一阶导数的符号判单调区间，用一阶导数是否变号找极值，用二阶导数的符号判凹凸与拐点，用极限求渐近线。前三类共用「求导 → 找分界点 → 列表看符号」这一套流程，第四类只需要求两三个极限。下面先给四类题的判断步骤速查表，再用 1 个四次多项式把前三类一次做完，用 1 个分式函数讲三种渐近线，每个结论都附代入检验。
四类题的判断步骤速查
| 题型 | 先求什么 | 分界点 | 判断依据 |
|---|---|---|---|
| 单调区间 | f′(x) | f′=0 的点、f′ 不存在的点 | f′>0 递增，f′<0 递减 |
| 极值 | f′(x) | 同上，称为候选点 | 经过候选点 f′ 由正变负是极大，由负变正是极小，不变号就没有极值 |
| 凹凸与拐点 | f″(x) | f″=0 的点、f″ 不存在的点 | f″>0 曲线向上弯，f″<0 向下弯；两侧变号且点在曲线上才是拐点 |
| 渐近线 | 几个极限 | 间断点、x→±∞ | 铅直：x→x₀ 时 f→∞；水平：x→∞ 时 f→常数；斜：先求 k，再求 b |
凹凸的叫法各教材不同。同济版《高等数学》把 f″>0 的曲线弧叫「凹」，也有教材叫「下凸」。答题时写清「f″>0，曲线向上弯」，读卷的人就不会误会。
前三类题都建议用列表法：把分界点从小到大排成表头，逐段写出导数的符号和函数的走向。单调、极值、凹凸三类结论都从同一张表里读出来，阅卷时步骤也一目了然。
例 1：一个四次函数做完单调、极值与凹凸
题目：讨论 f(x)=x⁴−4x³ 的单调区间、极值、凹凸区间与拐点。
第一步，求一阶导并因式分解。 f′(x)=4x³−12x²=4x²(x−3)，驻点是 x=0 与 x=3，定义域内没有导数不存在的点。4x² 在 x≠0 时恒正，所以 f′ 的符号只由 x−3 决定。
第二步，列表判单调与极值。
| x | (−∞, 0) | 0 | (0, 3) | 3 | (3, +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | − | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | 递减 | 0 | 递减 | 极小值 −27 | 递增 |
f 在 (−∞, 3] 上单调递减，在 [3, +∞) 上单调递增，极小值 f(3)=81−108= −27。x=0 也是驻点，但两侧 f′ 都是负号、没有变号，它不是极值点，这是本题最容易写错的一处。
第三步，求二阶导判凹凸。 f″(x)=12x²−24x=12x(x−2)，分界点 x=0 与 x=2。
| x | (−∞, 0) | 0 | (0, 2) | 2 | (2, +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| f″(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| 曲线 | 向上弯（凹） | 拐点 (0, 0) | 向下弯（凸） | 拐点 (2, −16) | 向上弯（凹） |
两个分界点两侧 f″ 都变号，所以 (0, 0) 与 (2, −16) 都是拐点，其中 f(2)=16−32=−16。原点同时是驻点和拐点：切线水平，曲线在这里由凹变凸，却没有取极值。
代入检验。 取 x=1 与 x=4：f′(1)=−8<0，f′(4)=64>0，与单调表一致；f″(1)=−12<0，与凹凸表一致。
例 2：分式函数的三种渐近线
题目：求 g(x)=x²/(x−1) 的全部渐近线。
铅直渐近线看让分母为零的点。x→1 时分子趋于 1、分母趋于 0，g(x)→∞，所以 x=1 是铅直渐近线。
水平渐近线看 x→∞。分子比分母高一次，g(x)→∞，这个函数没有水平渐近线。
斜渐近线按两个极限求，结果 k=1、b=1，斜渐近线是 y=x+1：
更快的核对办法是做一次多项式除法：x²/(x−1)=x+1+1/(x−1)。余项 1/(x−1) 在 x→∞ 时趋于 0，剩下的 x+1 正好是斜渐近线，与上面两个极限对得上。
顺带把这个函数的极值与凹凸也过一遍。g′(x)=x(x−2)/(x−1)²，极大值 g(0)= 0，极小值 g(2)= 4，极大值比极小值还小，因为极值只是局部概念。g″(x)=2/(x−1)³，x<1 时向下弯、x>1 时向上弯；凹凸在 x=1 两侧变了，可 x=1 不在定义域里，所以 g 没有拐点。
四类题最常丢分的地方
- 驻点当极值点。 例 1 的 x=0 就是反例。二阶判别法只在 f″(x₀)≠0 时有效，例 1 里 f″(0)=0，只能回到列表看 f′ 是否变号。
- 漏掉导数不存在的点。 含绝对值、分段或分数指数（如 x 的三分之二次方）的函数，导数不存在的点也要列进候选点。
- 拐点只写横坐标。 拐点是曲线上的点，要写成 (2, −16) 这样的坐标；极值则常写成「x=3 处取极小值 −27」，两种格式要分清。
- 斜渐近线只求 k。 k 存在还要继续求 b，b 的极限不存在时这一侧就没有斜渐近线。x→+∞ 与 x→−∞ 两侧也要分别看，例如 eˣ 只在 x→−∞ 一侧有水平渐近线 y=0。
把导数的应用题整理成可交的作业
这类题的得分点在「写得全」：导数的因式分解、符号表、结论三部分都要出现在答卷上。建议每题拆成两块来整理：一条多行公式记推导，一张表记符号。
在本站的 在线公式编辑器 里，把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 1 的两次求导贴进去，等号用 aligned 对齐：
\begin{aligned}
f'(x)&=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)\\
f''(x)&=12x^{2}-24x=12x(x-2)
\end{aligned}
切回「可视化」模式核对上标和括号后，这一条可以从顶栏「导出」→「Word（含公式）」单独放进作业；导出要登录并开通本站会员。符号表按上面的 Markdown 表格照抄即可，数值结论仍按代入检验手算确认。
下一步，可以把例 2 的 k 与 b 两个极限照原样录成一条公式，写在渐近线结论的上一行，阅卷人一眼就能看到斜渐近线是怎么来的。
延伸阅读
常见问题
- 极值点一定是驻点吗？
- 可导函数的极值点必定是驻点，这是费马引理的结论；但函数在导数不存在的点上也可能取极值，比如绝对值函数在原点取极小值，那里导数不存在。所以找极值的候选点要两类都列：导数为零的点，和导数不存在但函数有定义的点，再逐个看两侧导数是否变号。