定积分换元法：换元必换限的3道完整例题

定积分换元法的规矩只有一句：换元的同时换限，新变量的上下限由原来的上下限代进换元式得到，算完直接代新限，不必把 t 回代成 x。写成公式就是下一节末尾那张公式图，其中 x=φ(t)，φ(α)=a，φ(β)=b，并且 φ 在 [α, β] 上有连续导数。和不定积分相比，省掉了回代这一步，也少了一个出错的机会。代价是换限这一步不能省：新限算错，后面每一步都白做。

换元三件事：换式、换微分、换限

最后一行最容易被「好心」改错：若换元式是减函数，α 会比 β 大，这时照写不误，最后按公式算即可，不要擅自把上下限调换。

选 t 有三个常见信号：被积式里有 √(ax+b) 或 √(eˣ−1) 这类整体根式，就把整个根式设为 t；有 √(a²−x²)，设 x=a sin t；有 √(a²+x²)，设 x=a tan t。三角代换还要写明 t 的范围，开根号时才能确定 cos t 或 sec t 的正负。换元函数要连续可导，取值不能跑出原来的积分区间；选单调的换元最稳妥，上下限一一对应、不会出岔子。三道例题分别是根式代换、三角代换和一道可对照错误写法的根式代换。

例 1：被积式里有 √(eˣ−1)

题目：求 ∫₀^(ln 2) √(eˣ−1) dx。

令 t=√(eˣ−1)，则 eˣ=1+t²，x=ln(1+t²)，dx=2t/(1+t²) dt。换限：x=0 时 t=0；x=ln 2 时 t=√(2−1)=1。

中间一步把 2t²/(1+t²) 拆成 2−2/(1+t²)，原函数是 2t−2arctan t，代入 0 与 1 得 2−2·(π/4)。结果 2−π/2，约 0.4292；按辛普森法对原积分做数值积分，得到的也是 0.42920。

例 2：三角代换 x=sin t

题目：求 ∫₀¹ x²√(1−x²) dx。

令 x=sin t，t∈[0, π/2]，则 √(1−x²)=cos t（这个区间内 cos t≥0，根号直接开出来），dx=cos t dt。换限：x=0 对应 t=0，x=1 对应 t=π/2。

sin²t·cos²t 用二倍角写成 (1/4)sin²2t，再降幂成 (1/8)(1−cos 4t)，在 [0, π/2] 上积分，cos 4t 那一项积出来是 0，只剩 (1/8)·(π/2)。结果 π/16，约 0.19635，与数值积分一致。

同一题若令 x=cos t，x=0 对应 t=π/2，x=1 对应 t=0，下限反而大于上限；dx=−sin t dt 带出的负号正好把上下限翻回来，结果不变。

例 3：换限与忘记换限的对照

题目：求 ∫₁⁴ 1/(1+√x) dx。

令 t=√x，x=t²，dx=2t dt。换限：x=1 对应 t=1，x=4 对应 t=2。

\int_1^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}=\int_1^2\frac{2t}{1+t}\,dt=2\Big[t-\ln(1+t)\Big]_1^2=2+2\ln\frac{2}{3}

2t/(1+t) 拆成 2−2/(1+t) 后积分。结果约 1.1891。

错误写法是换成 t 之后仍然写 1 到 4：2[t−ln(1+t)] 从 1 代到 4，得 6−2ln(5/2)，约 4.167，是正确值的三倍多。另一种错法是换限后又回代成 √x，却仍代 t 的限 1 和 2，得约 0.452，这是把 t 的限当成 x 的限用了。两种写法只能选一种：要么全程用 t 和新限，要么回代成 x 用原来的限。

录推导时的一个小习惯

每一次换元，都在等号上方或旁边注明「令 t=…，x:1→4 对应 t:1→2」，阅卷人一眼能看到限是怎么来的。在本站编辑器里，这行注记可以用 \text{} 写在推导右侧，切回「可视化」模式能直接看到每一步的上下限各是多少，比纸上手写更容易核对。多道题整理成一份时，切到「文档编辑」逐条「插入公式」，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」；导出要登录并开通本站会员。

回头看例 3：换了限得约 1.189，忘了换限得约 4.167，只差一步，结果差出三倍多。「换元必换限」说的就是这一步。

延伸阅读

• 积分符号：积分号与上下限的读法和写法
• 二重积分符号：积分区域怎么读、累次积分的上下限怎么定