定积分怎么求：牛顿-莱布尼茨公式到对称性技巧

定积分怎么求，核心是一条：先找被积函数的原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式把上限、下限代进去相减。其余四种手段——换元换限、分部积分、偶倍奇零、区间再现——要么让原函数更好找，要么干脆绕开原函数。拿到题目先看积分区间是否对称、被积式能否与「区间翻转」后的自己配对，再决定是直接找原函数，还是动用换元与分部。

五种手段速查表

表里第四行的例子只用一行就能写完：x³cos x 是奇函数，在 [−2, 2] 上积分为 0；3x² 是偶函数，等于 2 乘以 3x² 在 [0, 2] 上的积分，即 2×8=16。要是硬做，x³cos x 得分部积分三次，这就是先看对称性的价值。

用牛顿-莱布尼茨公式有一个前提：被积函数在闭区间上连续。1/x² 在 [−1, 1] 上有无穷间断点 x=0，照公式代 −1/x 会得到 −2，一个正函数积出了负数；这其实是发散的反常积分，要按瑕积分处理。

三道例题：换元、分部与区间再现

例 1：换元的同时换上下限

题目：求 ∫₀³ x/√(1+x) dx。

令 t=√(1+x)，则 x=t²−1，dx=2t dt。上下限跟着换：x=0 时 t=1，x=3 时 t=2。整个推导在 t 的世界里做完，最后一步直接出数，不必把 t 换回 x。

\begin{aligned}
\int_0^3\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx&=\int_1^2\frac{t^2-1}{t}\cdot 2t\,dt=2\int_1^2\left(t^2-1\right)dt\\
&=2\left[\frac{t^3}{3}-t\right]_1^2=2\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3}
\end{aligned}

核对括号里的两项：t=2 时 t³/3−t=8/3−2=2/3，t=1 时等于 1/3−1=−2/3，相减得 4/3，乘 2 得 8/3，约 2.667。用辛普森法把原积分按 20000 等分做数值积分，得到的也是 2.6667。

例 2：分部积分的边界项先代值

题目：求 ∫₁ᵉ x ln x dx。

按「对数优先当 u」取 u=ln x，dv=x dx，于是 du=dx/x，v=x²/2。先把边界项代值：x=e 时 (x²/2)ln x=e²/2，x=1 时 ln 1=0，边界项就是 e²/2。剩下的 ∫₁ᵉ (x²/2)(1/x) dx=∫₁ᵉ x/2 dx=(e²−1)/4。

两部分相减得 (e²+1)/4，约 2.0973，与数值积分结果一致。边界项先代值的好处是式子立刻变短，也不会在最后一步把上下限代错位置。

例 3：区间再现，两式相加

题目：求 I=∫₀^(π/2) sin x/(sin x+cos x) dx。

这道题的原函数不好找，但积分区间是 [0, π/2]，而 sin 与 cos 在 x 与 π/2−x 下正好互换。令 x=π/2−t，dx=−dt，上下限对调后再翻回来，得到同一个 I 的另一种写法：

I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}\,dt

两式相加，分子分母相同，被积函数变成 1，所以 2I=π/2，I= π/4，约 0.7854。下图把两个被积函数画在一起：它们关于 x=π/4 左右对称，两块面积相等、加起来是一个宽 π/2、高 1 的矩形。

区间再现的通式是 ∫ₐᵇ f(x)dx=∫ₐᵇ f(a+b−x)dx。凡是被积式里 sin 与 cos、x 与 a+b−x 成对出现，都值得先试这一步。

四个常见失分点

1. 换元不换限。 例 1 若换成 t 却仍写 0 到 3，结果完全不对；换元后要么换限，要么回代到 x 再用原来的限，二者只能选一种。
2. 分部积分漏了边界项。 定积分的分部公式带着一项 uv 的代值，例 2 的 e²/2 就是它。
3. 区间不对称也套偶倍奇零。 奇偶性只在 [−a, a] 这样的对称区间上成立，[0, 2] 上的奇函数积分通常不为 0。
4. 忽略区间内的间断点。 被积函数在区间内无界时，先判断反常积分是否收敛，再谈牛顿-莱布尼茨公式。

把三道例题排成一份推导笔记

复习定积分时，把五种手段与三道例题的结果放在一页上对照，比零散做题更容易记住「什么信号用什么手段」。下面这页按手段排好，每条都附本文的结果，可以对照上面的步骤核对。

录成电子稿的做法：在本站 文档编辑页 里正文写题目和文字说明，每道例题的推导用「插入公式」各录成一条多行公式，积分上下限、分式都能在公式编辑器里按原样排出。三道题录完后，从顶栏「导出」选「Word 文档 (.docx)」，得到一份公式可双击修改的笔记；导出要登录并开通本站会员。数值部分仍靠上面的代值和数值核对手算确认。

现在就能做的一件事：把例 3 的那一行「两式相加」录进编辑器，它是整份笔记里最值得反复看的一步。

延伸阅读

• 积分符号：积分号与上下限怎么读、怎么写
• 帮助中心：文档编辑、插入公式与导出的操作说明