定积分求面积：两曲线围成图形的3步做法

定积分求面积分三步：先联立两条曲线求交点，定出积分区间；再选积分变量，竖着切就对 x 积分，横着切就对 y 积分；最后写「上减下」或「右减左」的积分，被积函数在整个区间上必须非负。第三步的「非负」最容易被忽略：两条曲线在区间内交叉时，要在交点处分段，否则正负相抵，面积会算小甚至算成负数。下面三道例题分别对应对 x 积分、对 y 积分和曲线交叉三种情形。

三步做法速查

判断谁在上，最省事的办法是在区间里任取一点代值比较，比画图还快，也不容易看错。例如在 (−1, 3) 里取 x=0，直线 y=2x+3 的值 3 大于抛物线的 0，直线就在上面。

例 1：抛物线 y=x² 与直线 y=2x+3

求交点。 x²=2x+3，即 x²−2x−3=0，x=−1 或 x=3，交点 (−1, 1) 与 (3, 9)。

选变量。 竖着切，每条竖线都只穿过直线与抛物线，对 x 积分。

上减下。 取 x=0 检验，直线在上：

S=\int_{-1}^{3}\left(2x+3-x^2\right)dx=\left[x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{3}=9-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{32}{3}

上限代入得 9+9−9=9，下限代入得 1−3+1/3=−5/3，相减得 32/3，约 10.667。

例 2：对 y 积分，y²=2x 与 y=x−4

求交点。 把直线写成 x=y+4，与 x=y²/2 联立：y²−2y−8=0，y=−2 或 y=4，交点 (2, −2) 与 (8, 4)。

选变量。 竖着切的话，x 在 0 到 2 之间竖线上下都碰抛物线，x 在 2 到 8 之间下边碰直线，要分两段写。横着切，每条横线左边都是抛物线、右边都是直线，一段就够，所以对 y 积分。

右减左。 右边界 x=y+4，左边界 x=y²/2：

S=∫₋₂⁴ (y+4−y²/2) dy=[y²/2+4y−y³/6] 从 −2 代到 4=40/3−(−14/3)=18。

换成对 x 积分也能做，只是要在 x=2 处分两段：前段上下边界是 ±√(2x)，积分为 16/3；后段上边界 √(2x)、下边界 x−4，积分为 38/3。两段相加同样是 18，但多写了一段，这就是选变量那一步的价值。

例 3：sin x 与 cos x 在 [0, π] 上，交叉要分段

两曲线在 x=π/4 处相交。左段 cos x 在上，右段 sin x 在上，必须分开写：

S=∫₀^(π/4) (cos x−sin x) dx+∫_(π/4)^π (sin x−cos x) dx=(√2−1)+(√2+1)=2√2，约 2.828。

不分段直接写 ∫₀^π (cos x−sin x) dx，结果是 −2：左段的正面积 √2−1 被右段的 −(√2+1) 抵掉，得到一个负数，也不是面积。

面积算成负数的两种原因

1. 上下写反。 例 1 若写成 ∫₋₁³ (x²−2x−3) dx，得 −32/3。绝对值碰巧对，但卷面上负的面积会被扣分，而且在需要分段的题里取绝对值也救不回来。
2. 交叉不分段。 例 3 就是例子。检查办法：积分结果为负，或者比画出的图形明显小，就回头找交点。

交点、分段点、积分式三样录进推导里，阅卷才看得懂。在本站编辑器里点「LaTeX」，把例 3 的两段积分写在同一行，切回「可视化」模式核对 π/4 这个分段点是否在两个积分号上都写对了；单独交这一条用「导出」→「Word（含公式）」，需要登录并开通本站会员。

例 2 对 y 积分，上下限该取 −2 和 4，还是交点横坐标 2 和 8？是前者：积分变量换成 y，上下限也要跟着换成 y 的范围。

延伸阅读

• 二重积分符号：用二重积分表示同一块面积时，积分区域怎么读
• 平行符号：题干里「与 x 轴平行的直线」这类条件的标记