连续型随机变量期望方差：积分公式与例题

连续型随机变量期望方差的求法是两个积分加一个公式：E(X)=∫x·f(x)dx，E(X²)=∫x²·f(x)dx，再用 D(X)=E(X²)−[E(X)]² 得到方差。积分区间理论上是整条数轴，实际只在密度 f(x)>0 的区间上积，其余部分被积函数为 0。下面先把三条公式与定积分区间的方法写清，再给均匀分布、指数分布、分段密度三道例题，每一步都能手算核对。

公式与积分区间

1. 定区间：读出 f(x)>0 的范围，均匀分布是 (a, b)，指数分布是 (0, +∞)，分段密度要按分段点拆成几个区间。
2. 求 E(X)：被积函数是 x·f(x)。
3. 求 E(X²)：被积函数是 x²·f(x)，不是 [x·f(x)]²。
4. 求 D(X)：用 E(X²) 减去 E(X) 的平方；结果必须大于等于 0，出现负数说明前面算错了。

动笔前先检查密度本身：在同一区间上 ∫f(x)dx 必须等于 1。这一步只用几秒，却能提前发现题目条件抄错或分段点写错。

方差也可以按定义 E[(X−E(X))²] 直接积，但被积函数要先展开，项数更多。用 E(X²)−[E(X)]² 这条公式，两次积分的被积函数都只是 x 的幂乘以密度，手算最省事。

下图是三条公式的完整写法，积分限先写整条数轴，做题时再换成实际区间。

例 1：均匀分布 U(2, 8)

例 1：X 在区间 (2, 8) 上服从均匀分布，密度 f(x)=1/6，2<x<8。

积分区间就是 (2, 8)。E(X)=∫₂⁸ x/6 dx=[x²/12]₂⁸=(64−4)/12= 5，正好是区间中点。E(X²)=∫₂⁸ x²/6 dx=[x³/18]₂⁸=(512−8)/18=28。D(X)=28−5²= 3。

核对：均匀分布的方差公式是 (b−a)²/12=36/12=3，与积分结果一致。

例 2：指数分布，λ=1/2

例 2：f(x)=(1/2)e^(−x/2)，x>0；x≤0 时 f(x)=0。积分区间是 (0, +∞)。

E(X)：用分部积分，取 u=x，dv=(1/2)e^(−x/2)dx，则 v=−e^(−x/2)。于是 E(X)=[−x·e^(−x/2)]₀^+∞+∫₀^+∞ e^(−x/2)dx=0+2= 2。边界项在 +∞ 处为 0，因为指数衰减比 x 增长快。

E(X²)：同样分部积分一次，E(X²)=[−x²·e^(−x/2)]₀^+∞+∫₀^+∞ 2x·e^(−x/2)dx。后一个积分等于 4×∫₀^+∞ x·(1/2)e^(−x/2)dx=4E(X)=8。D(X)=8−2²= 4，与指数分布 D(X)=1/λ² 的结论相符。两次分部积分的边界项都在 x=0 处为 0、在 +∞ 处趋于 0，写推导时把这一句注明，阅卷时不会被当成跳步。

例 3：分段密度

例 3：f(x)=x（0≤x≤1），f(x)=2−x（1<x≤2），其余为 0。先核对：∫₀¹x dx+∫₁²(2−x)dx=1/2+1/2=1。

E(X)=∫₀¹x²dx+∫₁²x(2−x)dx=1/3+[x²−x³/3]₁²=1/3+(4/3−2/3)= 1。密度图关于 x=1 对称，期望落在对称轴上，与计算一致。

E(X²)=∫₀¹x³dx+∫₁²(2x²−x³)dx=1/4+[2x³/3−x⁴/4]₁²=1/4+(4/3−5/12)=7/6，D(X)=7/6−1= 1/6。

常见错误对照

写这类推导时，积分上下限最容易排错。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，定积分写 \int_{0}^{+\infty}，dx 前面加 \, 留一个细空格，指数写 e^{-x/2}；下面是例 3 的期望，复制后切到「可视化」模式核对上下限：

E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx+\int_{1}^{2}x(2-x)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1

三道例题各有现成的对账数：均匀分布对 (b−a)²/12，指数分布对 1/λ²，分段密度若关于某条竖线对称，期望就落在那条线上。积分做完先拿它们对一遍，比从头重算快；积分号本身怎么读、怎么写，可以翻 积分符号。

延伸阅读

• 积分符号：怎么读、怎么写与何时使用
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明