凹凸性与拐点怎么求：二阶导符号表与例题

求凹凸性与拐点分四步：先求二阶导并尽量因式分解，再找出二阶导等于零和二阶导不存在的点，然后把这些点排成符号表逐段判正负，最后写出凹凸区间，并把两侧变号的点写成拐点坐标。二阶导为正的区间曲线向上弯，同济版《高等数学》叫「凹」；为负的叫「凸」，有的教材说法相反，答题时顺手写一句「f″>0，曲线向上弯」就不会被误读。下面两道例题，第二道专门处理二阶导不存在的点。

四步做法与判断依据

判断拐点只看一件事：经过这个点，f″ 的符号有没有改变。f″(x₀)=0 只说明它是候选，不说明它是拐点；反过来，f″ 在某点不存在，也照样可能是拐点。

例 1：ln(1+x²) 的凹凸区间与拐点

第一步，求二阶导。 f′(x)=2x/(1+x²)，再对商求导：

f''(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

第二步，找可疑点。 分母恒正，f″ 处处存在；令 1−x²=0，得 x=−1 与 x=1。

第三步，列符号表。 f″ 的符号只由 1−x² 决定。

第四步，写结论。 凹区间是 (−1, 1)，凸区间是 (−∞, −1) 与 (1, +∞)，端点写成闭的也算对。拐点纵坐标代原函数：f(±1)=ln 2，所以拐点是 (−1, ln2) 和 (1, ln2)。

代值核对：f″(0.5)=2×0.75/1.5625=0.96>0，f″(2)=2×(−3)/25=−0.24<0，与表一致。

例 2：二阶导不存在的点也可能是拐点

题目：求 g(x)=(x+1)·∛x 的凹凸区间与拐点。

先写成幂的形式 g(x)=x^(4/3)+x^(1/3)，逐项求导两次，再提出公共因子：

可疑点有两类。 令 2x−1=0 得 x=1/2；而 x^(−5/3) 在 x=0 处没有定义，所以 x=0 是二阶导不存在的点。g 本身在 x=0 连续，g(0)=0。

符号表。 x^(−5/3) 与 x 同号，2x−1 在 x<1/2 时为负：

两处都变号，拐点是 (0, 0) 和 (1/2, g(1/2))。g(1/2)=(3/2)·∛(1/2)=3/(2∛2)，约 1.1906。只盯着 g″=0 的人会漏掉原点，这正是本题要练的地方。

代值核对：取 x=−1、0.2、1，按差商算出的 g″ 分别约为 0.667、−1.949、0.222，符号依次是正、负、正，与表一致。

常见错误对照

把推导整理成作业时，两次求导宜上下对齐成两行。在本站编辑器把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 的这两行粘进去，切回「可视化」模式核对分数指数的位置：

\begin{aligned}
g'(x)&=\tfrac{4}{3}x^{1/3}+\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\\
g''(x)&=\tfrac{4}{9}x^{-2/3}-\tfrac{2}{9}x^{-5/3}=\tfrac{2}{9}x^{-5/3}(2x-1)
\end{aligned}

这条公式只交一份时，用顶栏「导出」→「Word（含公式）」单独取出；导出要登录并开通本站会员。符号表照上面的 Markdown 表格抄进文档即可，本站编辑器只负责排版，数值结论仍靠上面的代值核对。

例 1 对商求导时，分子里的 2x·2x 最容易少抄一个因子，而 f″ 的符号全由这一项决定；它一错，符号表从第一格起就跟着错。

延伸阅读

• 偏导符号：多元函数里判断凹凸时会遇到的二阶偏导记号
• 帮助中心：LaTeX 模式、可视化模式与导出的操作说明