复合函数求导：链式法则的拆层方法与例题

复合函数求导用链式法则：把函数由外到内拆成一层一层，每层对它自己的中间变量求导，再把各层的导数全部乘起来。写成式子就是 y=f(u)、u=g(x) 时 dy/dx = f′(u)·g′(x)，层数更多时就一直乘下去。关键是拆层要拆干净、乘的时候一层也不能少，下面先用函数关系图讲清拆法，再给 4 道逐层写出的例题，最后列出漏掉内层导数的几种典型错误。

例 1、例 2、例 4 都给了某个 x 处的导数值，方便自己代入验算。本文只讲手算方法与书写，推导可以放进公式编辑器逐行排版。

拆层方法：先画关系图

拆层的顺序是「从外往里剥」：先看整个式子最后一步做的是什么运算，那就是最外层；把它剥掉，剩下的部分再找最后一步，依次往里，直到剩下 x 本身。

找最后一步有个小办法：设想给 x 一个具体的数，用计算器从里往外算，最后按下的那个函数键就是最外层。例如 x=0.7 时，先算 3x=2.1，再算 cos 2.1，最后算 e 的这么多次方，所以 e 的指数运算在最外面。下图里每个箭头对应一次求导，箭头有几个，导数就是几个因子相乘。

以 y = e^(cos 3x) 为例：最后一步是「e 的多少次方」，剥掉后是 cos 3x；它的最后一步是「取余弦」，剥掉后是 3x；再往里就是 x。于是 y 依赖 u，u 依赖 v，v 依赖 x：

三个因子相乘，再把 u、v 换回 x：y′ = e^(cos 3x)·(−sin 3x)·3 = −3sin 3x·e^(cos 3x)。

四道例题逐层写

例 1：y = e^(cos 3x)。上面已经拆完，结果 −3sin 3x·e^(cos 3x)。x=0.7 时约为 −1.5631。

例 2：y = ln(x + √(1+x²))。

1. 外层 ln u，导数 1/u。
2. 内层 u = x + √(1+x²)，它本身又含一个复合 √(1+x²)，导数是 1 + x/√(1+x²)。
3. 相乘：[1 + x/√(1+x²)] / [x + √(1+x²)]。分子通分成 [√(1+x²) + x]/√(1+x²)，与分母约掉，得 1/√(1+x²)。

这一题的内层是「和」，和的求导按项分开，只有 √(1+x²) 那一项需要再套一次链式法则：外层开方的导数 1/(2√(1+x²)) 乘上里面 1+x² 的导数 2x，才得到 x/√(1+x²)。遇到内层是和、差、积、商的情况，先按四则法则拆开，再对其中仍是复合的那一项继续拆层。x=0.7 时结果约为 0.8192。

例 3：y = sin²(1/x)。

1. 外层平方 u²，导数 2u。
2. 中层 u = sin v，导数 cos v。
3. 内层 v = 1/x，导数 −1/x²。
4. 相乘：2sin(1/x)·cos(1/x)·(−1/x²)，用二倍角合并为 −sin(2/x)/x²。

例 4：y = arctan√(x²−1)，x>1。

1. 外层 arctan u，导数 1/(1+u²)。
2. 中层 u = √w，导数 1/(2√w)。
3. 内层 w = x²−1，导数 2x。
4. 相乘：[1/(1+x²−1)]·[1/(2√(x²−1))]·2x，化简得 1/(x√(x²−1))。x=1.8 时约为 0.3712。

漏掉内层导数的典型错误

四行的共同点：外层求对了，停在了中间。检查方法很简单：数关系图里的箭头，再数结果里的因子，个数要相等。

录入推导

链式法则的推导宜把每一层的因子分开写，阅卷时一眼能数清。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 4 录成一条：

y'=\frac{1}{1+\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot2x=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}

漏层是链式法则最常见的丢分点。练的时候把例 3 拆成外层、中层、内层三行，每行只写一个因子，数够三个再合成一行；因子个数和关系图里的箭头数对得上，这一题就不会漏。

延伸阅读

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