数学竞赛极限题：洛必达与放缩的综合例题

数学竞赛极限题很少只靠一种方法：常见做法是先用放缩或等价把题目化成标准形式，再用洛必达或泰勒收尾。本文选大学生数学竞赛（非数学类）里常见的三种题型，各写一道完整解析：和式极限用「泰勒不等式 + 夹逼」，幂指函数减常数用「取对数 + 洛必达」，两个分式相减用「等价替换 + 泰勒」。每道题都在解析末尾写明方法链，方便备课时整理成讲义。

三道题的答案依次是 1/2、−e/2、4/3，读者可以先自己做，再对照下面的步骤。

三种题型与方法链

题型	特征	方法链	本文例题
和式极限	n 项求和，每项是某函数在小量处的值	泰勒不等式放缩 → 夹逼	例 1
幂指函数减常数	形如 u(x)^v(x) − 常数，再除以 x	取对数 → 等价 → 洛必达	例 2
分式相减	两个都趋于无穷的分式相减	通分 → 等价替换 → 泰勒	例 3

判断用哪条链，看题目「卡」在哪里。和式卡在求不出和，就放缩成求得出和的式子；幂指函数卡在指数上，就取对数把指数拿下来；分式相减卡在 ∞−∞，就通分变成 0/0。

例 1：和式极限，泰勒不等式加夹逼

题目：求 n→∞ 时 Σ sin(k/n²) 的极限，k 从 1 取到 n。

1. 放缩依据：x>0 时 x − x³/6 ≤ sin x ≤ x，这是 sin x 在 0 处展开到三阶的两侧估计。
2. 上界：Σ sin(k/n²) ≤ Σ k/n² = n(n+1)/(2n²)，它趋于 1/2。
3. 下界：Σ sin(k/n²) ≥ Σ k/n² − Σ k³/(6n⁶)。后一项里 Σk³ 不超过 n⁴，所以它不超过 1/(6n²)，趋于 0。
4. 夹逼：上下界的极限都是 1/2，原极限为 1/2。

方法链：泰勒不等式 → 放缩 → 夹逼。这类题的关键在第 3 步：放缩丢掉的那部分要能证明趋于 0，只写「sin x 约等于 x」不算完整的论证。

例 2：幂指函数减常数，取对数接洛必达

题目：求 x→0 时 [(1+x)^(1/x) − e]/x 的极限。

1. 取对数：(1+x)^(1/x)=e^(ln(1+x)/x)，分子写成 e·[e^(u) − 1]，其中 u=ln(1+x)/x − 1，x→0 时 u→0。
2. 等价替换：e^u − 1~u，分子等价于 e·u，原式变成 e·[ln(1+x) − x]/x²。
3. 洛必达：[ln(1+x) − x]/x² 是 0/0 型，分子分母求导得 [1/(1+x) − 1]/(2x)=−1/[2(1+x)]，极限 −1/2。
4. 结果：原极限为 e·(−1/2)= −e/2。

方法链：取对数 → 等价替换 → 洛必达。第 2 步能替换是因为 e·[e^u − 1] 整体是乘积里的一个因子，替换在乘除关系里进行；若是加减里的一项，就要改用泰勒展开。

例 3：分式相减，等价替换接泰勒

题目：求 x→0 时 1/sin²x − cos²x/x² 的极限。

1. 通分：原式=(x² − sin²x·cos²x)/(x²sin²x)。
2. 化简分子：sin x·cos x=½sin 2x，分子是 x² − ¼sin²2x。
3. 等价替换分母：分母里 sin²x~x²，是乘积因子，可以换，分母变成 x⁴。
4. 泰勒展开分子：sin 2x=2x − (4/3)x³+o(x³)，平方得 4x² − (16/3)x⁴+o(x⁴)，所以 ¼sin²2x=x² − (4/3)x⁴+o(x⁴)，分子等于 (4/3)x⁴+o(x⁴)。
5. 结果：极限为 4/3。

方法链：通分 → 等价替换（分母）→ 泰勒（分子）。分子不能用 sin 2x~2x 直接换，那样分子变成 x² − x²=0，丢掉了决定答案的四阶项。

易错点与讲评要点

1. 放缩不交代误差：例 1 只写上界不写下界，或者下界里的误差项不证明趋于 0，夹逼不成立。
2. 在加减里做等价替换：例 3 分子若用 sin 2x~2x，得出的 0 是错的。
3. 取对数后忘了乘回常数 e：例 2 最后一步漏乘 e，答案写成 −1/2。
4. 展开阶数不够：例 3 分母是四阶，分子必须保留到 x⁴。

讲评时可以把三条方法链写成一列，让学生先说出每道题「卡」在哪里，再说用哪条链；推导本身在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」逐行录入，例 3 的通分与展开适合分成几行来录。

例 3 那一步「分子不能直接用 sin 2x~2x」最适合做成课堂提问：先让学生按等价替换写出 0，再展开到 x⁴ 对照，差在哪一项就一目了然。

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