微积分自学入门：极限、导数、积分三步学习路线

微积分自学入门按「极限 → 导数 → 积分」三步走：先用极限弄懂「无限接近」怎么写成式子，再用极限定义导数、学会求导，最后把积分当成求导的逆运算来学。每一步只要先会 3 类基础题就能往下走，本文按这个顺序列出章节、9 道对应例题和常见卡点。整个入门阶段按每周 5 到 6 小时算，大约 8 周能走完一遍。

这条顺序不是随意排的。导数的定义本身就是一个极限，定积分的定义也是一个和式的极限，所以极限不过关，后面两步都会反复卡住。反过来，积分里用到的每一条公式，都是某条求导公式倒过来读，导数不熟，积分只能死背。

章节顺序与每章 3 类基础题

表里的周数是给每周 5 到 6 小时的读者估的。时间更少的话，把每一格的周数加倍，顺序不要改。中值定理、泰勒公式、积分的应用这些内容放在第二遍再学，入门阶段先把这 9 类题做熟。下图把 9 道例题按三步排在一页上，可以打印出来贴在书桌前，每做完一道就在旁边打个勾，三步各自的 3 道都打满了再进入下一步。

第一步：极限的 3 类题

例 1（约分代入）：x→3 时 (x²−9)/(x−3)。直接代入是 0/0，分子因式分解成 (x−3)(x+3)，约去 x−3 后代入，极限是 6。

例 2（重要极限）：x→0 时 sin 5x / (3x)。把它写成 (5/3)·(sin 5x)/(5x)，后一个因子的极限是 1，结果是 5/3。

例 3（∞/∞ 比最高次）：x→∞ 时 (3x²+x)/(2x²−1)。分子分母同除以 x²，余下的项都趋于 0，极限是最高次系数之比 3/2。

三道题的共同点是先判断类型再动手：能直接代入就代入，代入得 0/0 就想办法约掉「惹事」的因子，∞/∞ 就比最高次。例 2 的推导写成一行是这样：

\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{3x}=\frac{5}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}=\frac{5}{3}

第二步：导数的 3 类题

例 4（公式加四则）：y = x³ − 4√x。逐项套幂函数公式，√x 看成 x 的 1/2 次方，得 y′ = 3x² − 2/√x。

例 5（复合函数）：y = ln(1+x²)。外层是 ln u，内层是 u = 1+x²，外层导数 1/u 乘内层导数 2x，得 y′ = 2x/(1+x²)。

例 6（切线方程）：求 y = x² 在 x=1 处的切线。斜率是 y′(1) = 2，切点是 (1, 1)，由点斜式得 y = 2x − 1。

例 6 是导数几何意义最直接的一题，下图画的就是这条抛物线和它在 (1, 1) 处的切线。

第三步：积分的 3 类题

例 7（直接套公式）：∫(2x + cos x)dx = x² + sin x + C。每一项都是一条求导公式倒过来读。

例 8（凑微分）：∫x·e^(x²)dx。注意到 d(x²) = 2x dx，把 x dx 写成 ½d(x²)，结果是 ½e^(x²) + C。

例 9（牛顿–莱布尼茨）：sin x 从 0 积到 π。原函数是 −cos x，代上下限相减：−cos π − (−cos 0) = 2。

积分做完可以求导回去核对：对例 8 的结果求导，链式法则给出 ½e^(x²)·2x = x·e^(x²)，正好是被积函数。自学时养成这个习惯，比对答案更能发现自己哪一步错了。

三个常见卡点与复习节奏

1. 极限卡在「为什么能约掉」：x→3 只是无限接近 3，x−3 不等于 0，所以能约。把这一句写在例 1 旁边，后面遇到 0/0 都照这个道理。
2. 求导漏乘内层导数：例 5 写成 1/(1+x²) 是最常见的错，拆层时每一层的导数都要乘进去。
3. 不定积分漏写 +C：例 7、例 8 的结果都要带 C，定积分代完上下限才不用写。

复习节奏上，每学完一步，隔 3 天把这一步的 3 道例题不看答案重写一遍，写得出再往下。推导要一行一行写清楚，本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」就能照着录，写到 \int、\lim 这类命令时符号随打随显，按空格结束命令接着写。

第一遍走完的标志很具体：9 道例题都能不看答案写出每一步的理由。做到这一点，再去碰中值定理和泰勒公式，就不会觉得是在读天书。

延伸阅读

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