自考高数渐近线：试题类型与答题步骤

自考高数渐近线的题，考的是两件事：会不会从间断点找铅直渐近线，会不会分别对 x→+∞ 和 x→−∞ 求极限找水平渐近线。常见问法有三种：填空题直接问某条渐近线的方程，选择题问一共有几条，综合题把渐近线作为讨论函数性态的一问。答题只要按「定义域、铅直、水平」三步走，每步写出一个极限，就不会漏条。

下面先把三种问法和对应的答法列成表，再给出答题步骤，最后用三道练习题逐步演示；三道题分别对应填空、条数判断和两侧不同三种情况。

三种出题形式

问法	典型题干	要写出的内容
填空	曲线 y=… 的水平渐近线为____	一个极限，一条方程
选择：条数	曲线 y=… 的渐近线共有几条	每条都要找到，还要排除假的
综合题中的一问	讨论函数的单调、凹凸与渐近线	每条渐近线附上对应的极限

三种问法里，条数判断最容易丢分：分母为 0 的点不一定都是铅直渐近线，x→+∞ 和 x→−∞ 也可能各有一条水平渐近线。下面的步骤就是为这两处设计的。

答题三步

1. 求定义域：列出分母为 0 的点、对数真数为 0 的点，这些是铅直渐近线的候选。
2. 查铅直：对每个候选点 x₀ 求 x→x₀ 的单侧极限，只要有一侧趋于无穷，x=x₀ 就是铅直渐近线；极限是有限数的点只是可去间断点。
3. 查水平：x→+∞ 与 x→−∞ 分开求极限，每一侧得到一个有限数 c，就有一条 y=c。

大纲要求斜渐近线时再加一步：先求 f(x)/x 的极限得斜率 k（k 不为 0），再求 f(x)−kx 的极限得截距 b。某一侧已经有水平渐近线，这一侧就没有斜渐近线。

练习 1：填空，水平与铅直各求一次

题目：曲线 y=(2x²+1)/(x²−1) 的水平渐近线为____，铅直渐近线为____。

1. 定义域：分母 x²−1=0，候选点是 x=1 与 x=−1。
2. 铅直：x=±1 时分子等于 3，不为 0，分母趋于 0，函数趋于无穷，所以 x=1、x=−1 都是铅直渐近线。
3. 水平：分子分母同为二次，x→±∞ 时极限是最高次系数之比 2，水平渐近线 y=2。

答：水平渐近线 y=2，铅直渐近线 x=1 与 x=−1。

练习 2：选择，分母为 0 的点不一定是渐近线

题目：曲线 y=(x²−4)/(x²−x−2) 的渐近线共有几条？

1. 定义域：x²−x−2=(x−2)(x+1)，候选点 x=2 与 x=−1。
2. 铅直：分子也能分解成 (x−2)(x+2)，约去 x−2 后是 (x+2)/(x+1)。x→2 时极限是 4/3，有限，x=2 是可去间断点，不是渐近线；x→−1 时分子趋于 1、分母趋于 0，x=−1 是铅直渐近线。
3. 水平：x→±∞ 时极限是 1，水平渐近线 y=1。

答：共 2 条。把 x=2 也数进去选 3 条，是这道题设的陷阱。

练习 3：两侧的水平渐近线不同

题目：求曲线 y=1/(1−eˣ) 的全部渐近线。

1. 定义域：1−eˣ=0 得 x=0，候选点只有这一个。
2. 铅直：x→0⁺ 时 1−eˣ 从负的一侧趋于 0，y→−∞；x→0⁻ 时 y→+∞。x=0 是铅直渐近线。
3. 水平：x→+∞ 时 eˣ→+∞，y→0，得 y=0；x→−∞ 时 eˣ→0，y→1，得 y=1。

答：铅直渐近线 x=0，水平渐近线 y=0 与 y=1，共 3 条。只算 x→∞ 一种情形的同学，会漏掉其中一条水平渐近线。

每条渐近线旁边都写出对应的极限式，阅卷时一眼能看到依据。自己整理错题时，可以在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把练习 2 约分后求极限的那一行录下来：趋近条件写成下标 \lim_{x\to 2}，命令随打随显，按空格结束命令接着写。

三道题各有一个坑：练习 1 要记得分母有两个零点，练习 2 要排除可去间断点，练习 3 要把正负无穷分开写。考前把这三句抄在草稿纸最上面，对着它逐项查一遍。

延伸阅读

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