二元函数极值：驻点与AC−B²判别的完整步骤

求二元函数极值分四步：先解方程组 ∂f/∂x=0、∂f/∂y=0 找出全部驻点；再求三个二阶偏导，在每个驻点处算出 A=∂²f/∂x²、B=∂²f/∂x∂y、C=∂²f/∂y²；然后看 AC−B² 的符号，大于 0 时是极值点（A>0 极小、A<0 极大），小于 0 时不是极值点，等于 0 时判别法失效、要另想办法；最后把极值点代回原函数算出极值。驻点多的题建议把每个点的 A、B、C 列成一张表，逐行判断，不容易漏。下面两道例题都按这个格式写，第二道的 B 不为零。

四步做法与判别规则

四步里最容易出错的是第一步和第三步，几点补充：

• 第一步要解出全部驻点。方程组往往是两个一元方程的组合，每个方程的每个根都要配对，例 1 就有 2×2=4 个驻点。
• A、B、C 是在驻点处代值后的数，不是函数表达式。B 是混合偏导，它在判别式里以平方出现，所以正负号不影响 AC−B² 本身，但算错数值照样会判错。
• AC−B²>0 时 A 与 C 必然同号，看 A 或看 C 结论相同。
• 第四步的极值是函数值，写成 f(1, 0)=−5 这样；极值点写坐标，两者分开写。

判别法的来历是二阶泰勒展开：驻点处的一阶项为零，驻点附近的函数值变化由 A、B、C 组成的二次式决定。第三步的判别规则写成分段形式如下：

例 1：四个驻点逐个判断

f(x, y)=x³−y³+3x²+3y²−9x。

找驻点：∂f/∂x=3x²+6x−9=0，得 x=1 或 x=−3；∂f/∂y=−3y²+6y=0，得 y=0 或 y=2。两两配对共 4 个驻点。

二阶偏导：A=6x+6，B=0，C=−6y+6。

所以极小值 f(1, 0)=−5，极大值 f(−3, 2)=31。代值核对：f(−3, 2)=−27−8+27+12+27=31。

例 2：B 不为零的情形

f(x, y)=x³+y³−3xy。

找驻点：∂f/∂x=3x²−3y=0 得 y=x²；∂f/∂y=3y²−3x=0 得 x=y²。联立得 x=x⁴，实数解 x=0 或 x=1，驻点是 (0, 0) 与 (1, 1)。

二阶偏导：A=6x，B=−3，C=6y。

(0, 0) 处可以沿两条直线直观核对：沿 y=x 走，f=2x³−3x²，原点附近为负；沿 y=−x 走，f=3x²，原点附近为正。同一点附近函数值有正有负，确实不是极值点。

整道题的推导可以照下面的源码录入：

\begin{aligned}
f_{x} &= 3x^{2}-3y=0,\quad f_{y}=3y^{2}-3x=0 \\
&\Rightarrow (0,0),\ (1,1) \\
A &= 6x,\quad B=-3,\quad C=6y \\
(1,1)&:\ AC-B^{2}=36-9=27>0,\ A=6>0,\ f_{\min}=-1
\end{aligned}

判别法之外：AC−B²=0 与最值

AC−B²=0 时，判别法给不出结论，要回到定义，看驻点附近函数值的符号。两个对照例子，驻点都是原点，而且 A=0、B=0、C=2，判别式都等于 0：

• f=x⁴+y²：处处 f≥0=f(0, 0)，原点是极小值点。
• f=x³+y²：沿 x 轴 f=x³，原点左侧为负、右侧为正，原点不是极值点。

判别式相同、结论相反，说明这时只能看函数本身。

极值不等于最值。 极值只比较驻点附近，最值要在整个区域上比较。仍以例 2 的 f=x³+y³−3xy 为例，限制在正方形 0≤x≤2、0≤y≤2 上：内部的驻点只有 (1, 1)，极小值 f(1, 1)=−1；边界 x=0 上 f=y³，y=0 上 f=x³，端点处取到 8；边界 x=2 上 f=8+y³−6y，在 y=√2 处取到 8−4√2，约 2.34；边界 y=2 与 x=2 对称，同样是 8−4√2。比较后，最大值 8 在 (2, 0) 与 (0, 2) 处取得，出现在边界上；最小值 −1 恰好是内部那个极小值。

常见错误

1. 驻点漏配对：例 1 只写了 (1, 0) 和 (−3, 2)，漏掉另两个。
2. 只看 AC−B² 不看 A：判出是极值点后，不看 A 的符号就写成极大值。
3. 把 AC−B²=0 当成非极值：见上一节的 x⁴+y²。
4. 只报点不报值：题目问极值时要代回原函数，例 1 写出 −5 与 31。

例题表格里 A、B、C 与判别式并排，最方便事后复查。推导部分在本站公式编辑页点「LaTeX」录入，二阶偏导写成 f_{xx}、f_{xy}，判别式写 AC-B^{2}；表格可以切到「文档编辑」插入，公式与表格放在同一份文档里。站内其他数学教程可以在 教程文章列表 里按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类查找，编辑器的基本操作见 帮助中心。∂、≥ 这类符号的 LaTeX 写法可以在 LaTeX 符号大全 里查到后直接复制。

收尾建议：把例 1 的四行驻点判断连同上面的表格放进一份文档，从「导出」选「Word 文档 (.docx)」交作业，公式在 Word 里仍可双击修改；导出需要登录并开通本站会员。

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