贝叶斯公式：由结果推原因的例题与树状图

贝叶斯公式回答的是「结果已经发生，它由第 i 个原因造成的概率有多大」：P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) ÷ ΣP(Aⱼ)P(B|Aⱼ)。分子是第 i 个原因走到结果 B 的那一条路径的概率，分母是所有原因走到 B 的路径概率之和。其中 P(Aᵢ) 叫先验概率，是看到结果之前对原因的估计；P(Aᵢ|B) 叫后验概率，是看到结果之后修正过的估计。下面用树状图把路径画出来，配疾病检测、产品溯源、复检三道例题，最后对照分子分母写反的错误。

先验、后验与树状图的读法

树状图从左往右画两层：第一层是原因，每个分支标上先验概率；第二层是结果，每个分支标上条件概率 P(B|Aᵢ)。一条路径的概率等于沿途各分支相乘。读图求后验分三步：

1. 圈出结果：把所有以 B 结尾的叶子找出来。
2. 算分母：这些叶子的路径概率相加，就是 P(B)，这一步就是全概率。
3. 算分子：只取经过原因 Aᵢ 的那一条路径，除以分母即得 P(Aᵢ|B)。

结果在某个原因下特别常见、在其他原因下很少见，后验会比先验高出很多；结果在各个原因下出现的机会差不多，后验就几乎等于先验。

例 1：疾病检测阳性，真患病的概率

例 1：某病在人群中的患病率为 1%。检测对患者呈阳性的概率是 95%，对健康人误报阳性的概率是 4%。一个人检测为阳性，求他真的患病的概率。

设 D 为患病、H 为健康，先验 P(D)=0.01，P(H)=0.99。树状图上以「阳性」结尾的叶子有两片：患病且阳性 0.01×0.95=0.0095，健康且阳性 0.99×0.04=0.0396。

后验的算式见下方公式图。

后验只有约 19.3%，远低于「患者检出阳性」的 95%。换成人数更直观：10000 人里 100 名患者中 95 人阳性，9900 名健康人中 396 人被误报阳性。健康人基数太大，4% 的误报压过了真阳性。

例 2、例 3：产品溯源与复检

例 2（产品溯源）：两条流水线分别生产 70% 和 30% 的产品，次品率分别为 2% 和 5%。抽到一件次品，求它来自第二条流水线的概率。

两条路径的概率是 0.7×0.02=0.014 与 0.3×0.05=0.015，分母为 0.029。所以 P(第二条|次品)=0.015/0.029=15/29≈ 0.517，第一条对应 14/29，两者相加为 1。第二条只占三成产量，却贡献了一半以上的次品。

例 3（复检）：例 1 中阳性的人再做一次同样的检测，结果仍为阳性。假设已知是否患病时两次检测相互独立，求此时患病的概率。

第一次检测后的后验 95/491 成为这次的先验。沿用人数：491 名阳性者里 95 名患者、396 名健康人；按期望人数计，第二次检测后，患者中有 95×0.95=90.25 人仍为阳性，健康人中有 396×0.04=15.84 人再次被误报。

P(D|两次阳性)=90.25÷(90.25+15.84)=90.25÷106.09≈ 0.851

一次阳性约 19%，两次阳性升到约 85%，这就是初筛阳性要复检的道理：上一步的后验作为下一步的先验，证据越多，估计越准。

分子分母写反与其他常见错误

第二行最常见：「患病的人有多大概率阳性」是树上某一条分支标的数，「阳性的人有多大概率患病」要把以阳性结尾的路径全部收齐再算比例。分母的算法就是全概率公式：按原因划分，把每条路径的概率加起来。

把树状图与推导录进笔记

做贝叶斯题时，先画树状图、再写推导，两者放在一起复习最有用。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，条件概率的竖线写 \mid，约等号写 \approx；树状图可以用嵌套的 cases 环境近似画出两层分支，箭头上的概率写在 \xrightarrow{0.95} 里。

\text{人群}\begin{cases}\xrightarrow{0.01}\text{患病}\begin{cases}\xrightarrow{0.95}\text{阳性}\\\xrightarrow{0.05}\text{阴性}\end{cases}\\\xrightarrow{0.99}\text{健康}\begin{cases}\xrightarrow{0.04}\text{阳性}\\\xrightarrow{0.96}\text{阴性}\end{cases}\end{cases}

本文第一张树状图就是这段源码的渲染效果，改掉患病率与检测准确率，就能套用到别的筛查题。

录完在「可视化」模式里核对：分子只取一条路径，分母收齐所有路径。文字题可以先按 自然语言公式 的方法把原因与结果各写成一句话。

具体可以这样做：把例 3 的两步更新录成两行，第一行写一次阳性后的 95/491，第二行写两次阳性后的 90.25/106.09，从「导出」选「Word（含公式）」交作业；导出需要登录并开通本站会员。

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