交错级数：莱布尼茨判别法与条件收敛判断

交错级数写成 Σ(−1)ⁿ⁻¹uₙ（uₙ>0）的形式后，用莱布尼茨判别法判断：只要 uₙ 从某一项起单调减少，并且 uₙ→0，级数就收敛。判断的顺序是先看各项取绝对值后的 Σuₙ：它收敛，原级数就绝对收敛，莱布尼茨判别法可以不用；它发散，再用莱布尼茨判别法判原级数，收敛就是条件收敛。下面三道例题分别落在绝对收敛、条件收敛、从第 3 项起才单调三种情形。

判断顺序与莱布尼茨的两个条件

1. 看通项：uₙ 不趋于 0，级数直接发散，后面都不用做。
2. 看绝对值级数：用比较法、比值法或 p 级数判 Σuₙ，收敛则原级数绝对收敛。
3. 用莱布尼茨：Σuₙ 发散时，验单调减少与 uₙ→0 两个条件，都满足则条件收敛。
4. 两个条件有一条不满足：只说明这个判别法失效，不能据此判发散。

单调性常用三种验法：看 uₙ−uₙ₊₁ 是否非负；看 uₙ₊₁/uₙ 是否不超过 1；或把 uₙ 看成函数 f(x) 在整数点的值，看 f′(x) 在 x 足够大时是否不大于 0。第三种对含对数、根号的通项最省事，前两种适合通项是分式或幂的情形，用哪一种都要写出「从第几项起」。

莱布尼茨判别法还附带一个误差估计：用前 n 项之和近似级数的和，误差的绝对值不超过被舍去的第一项 uₙ₊₁。两个条件与这个估计写在一起如下：

例 1：绝对收敛，不必用莱布尼茨

例 1：判断 Σ(−1)ⁿ⁻¹ n/3ⁿ⁻¹ 的敛散性。

先取绝对值得 Σ n/3ⁿ⁻¹，用比值法，(n+1)/(3n)→ 1/3<1，收敛，所以原级数绝对收敛。这一步做完就结束了，不必再验单调。核对：绝对值级数的和是 9/4，原级数的和是 9/16，前 200 项之和与这两个值一致。

例 2：条件收敛

例 2：判断 Σ(−1)ⁿ⁻¹ n/(n²+1) 的敛散性。

绝对值级数：n/(n²+1) 与 1/n 之比趋于 1，由比较法的极限形式，Σ n/(n²+1) 与调和级数同样发散，原级数不是绝对收敛。

莱布尼茨：令 f(x)=x/(x²+1)，f′(x)=(1−x²)/(x²+1)²，x≥1 时不大于 0，所以 uₙ 单调减少；uₙ→0 显然。两个条件都满足，原级数收敛，结论是 条件收敛。

部分和在极限两侧来回摆动：0.5、0.1、0.4、0.1647……，摆幅越来越小，最后停在约 0.2696。前 10 项之和是 0.2225，与极限相差 0.047，没有超过 u₁₁=11/122≈0.090 这个误差上界。

例 3：从第 3 项起才单调

例 3：判断 Σ(−1)ⁿ ln n/n 的敛散性，n 从 2 起。

绝对值级数：n≥3 时 ln n>1，所以 ln n/n>1/n，与调和级数比较，发散。

莱布尼茨：u₂≈0.347，u₃≈0.366，前两项在增大，不是从头单调。令 f(x)=ln x/x，f′(x)=(1−ln x)/x²，x>e 时小于 0，所以从 n=3 起单调减少；ln n/n→0。去掉前面有限项不影响敛散性，原级数收敛，结论是条件收敛，和约为 0.160。

四处常见错

1. 只用莱布尼茨就写「条件收敛」：例 1 同样满足莱布尼茨的两个条件，但它是绝对收敛，必须先判绝对值级数。
2. 不单调就判发散：奇数项取 1/n²、偶数项取 3/n² 的交错级数不单调，但取绝对值后不超过 3/n²，绝对收敛。
3. 只验 uₙ→0：第 2k−1 项取 1/k、第 2k 项取 1/k² 的级数，uₙ→0 但不单调，相邻两项配对后是 Σ(1/k−1/k²)，发散。
4. 要求从第 1 项起单调：例 3 从第 3 项起才单调，判别法照样能用。

在本站公式编辑页点「LaTeX」，(−1)ⁿ⁻¹ 写成 (-1)^{n-1}，指数里有两个字符以上要加花括号。想把莱布尼茨的两个条件写在同一行时，中间可以用 \land（显示为 ∧）连接，也可以直接写中文「且」；∧ 这类逻辑记号的写法见 逻辑与符号。

(ln n)²/n 这类通项先增后减，判别时卡住人的总是「从第几项起单调」那一句。把例 3 里 f′(x) 那一行连同「从 n=3 起」的结论记进级数笔记，以后换个函数改一改就能照用；分子分母对没对位，预览里一眼就能看出。

延伸阅读

• 逻辑与符号：两个条件同时成立怎么读
• 教程文章列表：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的全部文章