1的无穷次方极限：化成e的幂的两种写法与例题

1的无穷次方极限的做法是把它化成 e 的幂：底数写成 1+α、α→0，指数写成 v→∞，结果就是 e 的 (lim αv) 次方。具体有两种写法：一种是凑出重要极限 (1+α)^(1/α)→e，再单独求指数上的极限；另一种直接套公式 lim u^v=e^(lim v(u−1))，其中 u 是底数。两种写法本质相同，下面各用一道例题示范，再给第三道综合题和最常见的「指数漏乘」错误。

两种写法对照

写法一：凑重要极限。 把底数改写成 1+□，指数改写成 (1/□)×(□×原指数)。前半截 (1+□)^(1/□) 趋于 e，整道题就变成求 □×原指数 的极限，结果放在 e 的指数上。

写法二：公式法。 由 u^v=e^(v ln u)，以及 u→1 时 ln u 与 u−1 是等价无穷小，得到 lim u^v=e^(lim v(u−1))，这里的 u 是整个底数。它省掉了凑形那一步，直接求一个 0·∞ 型的极限。

两种写法求的其实是同一个极限：写法一里的 □ 就是写法二里的 u−1。考试时任选一种，只要把指数那一步写清楚即可。公式法的完整写法如下，前提 u→1、v→∞ 写在括号里，答卷上建议也照写。

三道例题逐步推导

例 1（写法一，x→∞）：求 lim(x→∞) ((x+3)/(x−1))^x。

底数 (x+3)/(x−1)=1+4/(x−1)，令 □=4/(x−1)。指数 x 改写成 ((x−1)/4)×(4x/(x−1))，前一个因子正好是 1/□。于是原式等于 e 的 lim 4x/(x−1) 次方，这个极限是 4，结果 e⁴。

数值核对：x=10⁶ 时原式约 54.598，e⁴ 约 54.598，对得上。

例 2（写法二，x→0）：求 lim(x→0) (1+tan x)^(2/sin x)。

u=1+tan x→1，v=2/sin x→∞，符合前提。v(u−1)=2tan x/sin x=2/cos x→2，结果 e²。这道题用写法一也行，但要把 1/tan x 凑出来，写法二少一步。

例 3（综合题）：求 lim(x→0) (cos x+sin x)^(1/x)。

底数 cos x+sin x→1，指数 1/x→∞。用写法二，u−1=(cos x−1)+sin x，除以 x 后分成两项：(cos x−1)/x→0，sin x/x→1，合计为 1，结果 e。x=10⁻⁶ 时原式约 2.71828，与 e 一致。

\lim_{x\to0}(\cos x+\sin x)^{\frac{1}{x}}=e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-1+\sin x}{x}}=e^{0+1}=e

最常见的错误：指数漏乘

错误一：凑完 1/□ 就停。 例 1 若写成 (1+4/(x−1))^((x−1)/4)→e，就把 x 与 (x−1)/4 之间差的那个因子 4x/(x−1) 丢了，答案错成 e。检查方法：把凑出来的指数与补上的因子相乘，必须还原成原来的指数。

错误二：底数先代成 1。 例 3 若先写 cos 0+sin 0=1，再说「1 的多少次方还是 1」，就把底数的趋势当成了取值。底数只是趋于 1，指数同时在变大，必须放在一起看。

错误三：公式法用错对象。 写法二里的 u−1 是「底数减 1」，例 2 的 u−1 是 tan x，而不是 1+tan x。

把两种写法并排录下来

这类题的得分点在指数那一行。在本站公式编辑页把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」，把例 2 的两种写法录成一条两行公式：第一行是写法一的凑形，第二行是写法二的一步结果，e 的指数写在 e^{...} 的花括号里，分式指数会自动缩小排版。

在「可视化」模式里对照检查：第一行凑出来的指数 1/tan x 与补上的因子相乘，能否还原成 2/sin x。确认后从顶栏「导出」→「Word（含公式）」把这一条放进作业，导出要登录并开通本站会员。下一步，可以把例 3 按同样的两行格式再录一条，写法一那行要先把 cos x−1+sin x 凑成 □；lim 下标的写法见 极限符号。

延伸阅读

• 极限符号：lim 的上下标各表示什么
• 乘号：指数里乘号与点乘的写法选择